EJERMATE CUATRO POLIGONOS REGULARES EJERCICIOS BASICOS RESUELTOS

15 EJERCICIOS BÁSICOS SOBRE POLÍGONOS REGULARES

Ejercicios Resueltos

1. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado de 15 metros de lado?.
Sean:
L=Longitud del lado.
P=Perímetro.
Entonces:
L=15 m.
P=15 + 15 + 15 + 15 = 60. Es decir 60 metros.
O lo que es lo mismo:
P=5 · 15 = 60 metros.

2. ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono regular?.
Sean:
L=Número de lados.
D=Cantidad de diagonales (diagonalestotales de la figura).
Entonces:
L=5;
D?

D=

L ( L − 3) 5·2 10
=
=
=5
2
2
2

Por tanto, el pentágono regular tiene 5 diagonales.

3. Calcular el valor del ángulo central y de cada uno de los ángulos interiores de un
octógono regular.
Sean:

α = Ángulo central.
γ = Ángulo exterior.
β = Ángulo interior.
Entonces:
8· α =360;

α=

360
=45; de donde resulta que α =45º, luego el ángulo
8

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central mide 45º.
Como

α = γ , entonces γ = 45º .

Luego el ángulo exterior mide 45º.

Como α + β = 180 º , entonces 45º + β = 180 º ;
Luego el ángulo interior mide 135º.

β = 180 º −45º ;

β = 135º .

4. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular, si uno de sus ángulos
interiores es de 175º?.
Sean:

α = Ángulo central.
γ = Ángulo exterior.
β = Ángulo interior.Entonces:

β = 175º
β + γ = 180 º ;

175º +γ = 180 º ;

γ = 180 º −175º ;

γ = 5º

Luego el ángulo exterior mide 5º.
Como

α = γ , entonces

α = 5º

Luego el ángulo central de nuestro polígono mide 5º.
Nuestro polígono tiene n ángulos centrales iguales, luego:
N·5=360º;

n=

360 º
;
5º

n=72.

Nuestro polígono tiene 72 lados, porque el número de ángulos centrales iguales
y el número de lados soniguales.

5. Hallar el número de diagonales de un eneágono.

Sea:
L=Número de lados del polígono.
D=Número de diagonales.
Aplicamos:

D=

L ( L − 3)
2

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Y entonces

D=

diagonales.

9(9 − 3) 9·6 54
=
=
= 27
2
2
2

Luego el polígono tiene 27

6. Hallar el número de lados de un polígono que tiene 54 diagonales.
Sea:
L=Número de lados del polígono.D=Número de diagonales.
Aplicamos:

L ( L − 3)
2

D=

Entonces:

54 =

L ( L − 3)
;
2

54·2 = L ( L − 3) ;

108 = L( L − 3) ;

108 = L2 − 3L ;

Luego: L − 3L − 108 = 0 .
2

Ahora aplicando la fórmula para hallar las soluciones de una ecuación de
segundo grado, tendremos:

L=

3 ± 9 + 4·108 3 ± 441 3 ± 21
;
=
=
2
2
2

Luego obtenemos las dos soluciones

siguientes:
L=

12
-9

Como es imposible tener unacantidad negativa de lados, entonces la solución
correcta será:
L=12. El polígono tiene 12 lados.

7. Hallar el valor de un ángulo interior de un decágono.
Un decágono tiene 10 lados, 10 ángulos centrales, 10 ángulos
interiores y 20 ángulos exteriores.
Sean:

α = Ángulo central.
γ = Ángulo exterior.

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Entonces

10·α = 360º ;

α=

360
;
10

α = 36º ;Luego el ángulo central mide 36º.
Como α = γ , entonces
γ = 36 º ;
Luego el ángulo exterior también mide 36º.
Y ahora, como

β + γ = 180 º ;

β + 36 º = 180 ;

β = 180 º −36º ;

β = 144 º
Luego el ángulo interior mide 144º.

8. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo interior mide 162º?
Un polígono regular tiene tantos lados como ángulos centrales iguales.
Sean:
α = Ángulo central.
γ= Ángulo exterior.

β = Ángulo interior.
X=Número de ángulos centrales.
Entonces:

x·α = 360 º
β = 162 º

Como

α =γ

Entonces:

β + γ = 180 º ;

162 º +γ = 180 º ;

Luego también será:
Entonces:

α = 18º.

x·α = 360º ;

x·18º = 360º ; x =

γ = 180 º −162 º ;

360º
= 20 ;
18º

El polígono tiene 20 ángulos centrales iguales.
El polígono tiene 20 lados.

Luego x=20.

γ = 18º

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9. ¿Cuál es la longitud del lado de un cuadrado cuya área es de 25 metros
cuadrados?.
Sean:
S=Supeficie (Área) del cuadrado.
P=Perímetro del cuadrado.
A=Apotema.

Aplicamos la fórmula para calcular la superficie:

P·A
; como el perímetro es 4·L, entonces, sustituyendo tendremos
2
4·L· A
25 =
2
25
Entonces, 25 = 2·L· A ;
= L· A ;
12,5 = L· A
2
L
Entonces, resulta que...