El Bacan

Taller 1
Clases 1 & 2

Álgebra Lineal
Semestre 2010/02

Escuela de Matemáticas Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia

1. Calcule u v, kuk y kvk . Determine si u y v sonortogonales. Proporcione un vector unitario en la dirección de u. 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 1 4 p p 4 3 1 2 6 2 7 6 2 (a) u = 4 3 5 , v = 4 7 5 . (b) u = 4 0 5 , v = 4 3 5 . (c) u = 6 p 7 , v = 6 4 3 5 4 0 8 31 2 1 0 2 2. Sean u, v, w 2 Rn , donde n (a) ku vk 2. Explique por qué las siguientes expresiones no tienen sentido. (c) u (v w) (d) (u w) 3

3

7 7. 5

(b) (u v) + w

3. Demuestre lassiguientes igualdades (a)

(u + v) (u

v ) = k u k2

k v k2 .

(b)

k u + v k2 + k u

v k2 = 2 k u k2 + 2 k v k2 .

4. Determine el ángulo entre los vectores u y v dados. 2 3 2 1 5, 1 2 3 1 25. 1 2 3 4 3 5, 1 2 3 1 1 5 1 6 u=6 4 2 3 1 2 7 7, 3 5 4 6 v=6 4 2 6 6 4 2 3 3 1 7 7. 1 5 1 3 1 1 7 7. 2 5 0

(a)

u=4

v=4

(b)

u=4

v=4

(c)

5. Calcule la proyección de v sobre u.Compruebe la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la desigualdad triangular. 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 1 2 1 0 1 6 1 7 6 3 7 6 0 7 7 6 7 7 (b) u = 6 (c) u = 6 (a) u = 4 1 5 , v = 4 1 5 4 1 5, v = 4 1 5. 4 1 5, v= 1 2 3 1 2 4 6. Repita el ejercicio 4 para los vectores del ejercicio 5. Repita el ejercicio 5 para los vectores del ejercicio 4.
p

7. Dados dos vectores u y v en Rn tales que kuk = kvk , ¿cuáldeber ser el ángulo θ para que ku + vk = 8. Halle todos los valores del escalar k para los cuales los vectores u y v sean ortogonales. 2 3 k+1 k 1 2 2 3 1 1 5, 2 3 k2 v = 4 k 5. 3 3 1 2 5. 1 2 6 u=6 42 3 1 1 7 7, 1 5 1

2 2

ku

v k?

(a)

u=

,

v=

(b)

u=4

(c)

3 2 x 9. Describa todos los vectores v = 4 y 5 que sean ortogonales a u = 4 z 10. Sean u, v 2 Rn . Pruebe que ku+ vk = ku vk si y sólo si u v = 0.

6 v=6 4

2

3 k3 k2 7 7. k 5 1

11. Demuestre que no existen vectores u y v 2 Rn tales que kuk = 1,

kvk = 2 y u v = 3.

12. Explique por qué las...