El determinante de una matriz

EL DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
DEFINICION DE DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 2X2
El determinante de la matriz
A= a11a12a21a22
Esta dado por : det A= A=a11a22-a21a12
Un método conveniente para recordar la fórmula del determinante de una matriz 2x2 se muestra en el siguiente diagrama:
detA= a11a12a21a22 =a11a22-a21a12
Observe que el determinante esta dado por la diferencia de losproductos de las dos diagonales de la matriz.
Ejemplos:
Encuentre el determinante de las matrices siguientes:
a) A= 2-3 12 b) B= 21 42 c) C= 03 24
Solución:
a) A = 2-312=22-1-3=4+3=7
b) B= 2142 =22-41=4-4=0
c) C= 03 24 =04-23=0-6=-6
Observación: Nótese que el determinante de una matriz puede ser positivo, negativo o cero.
Paradefinir el determinante de una matriz de orden superior a 2, es conveniente usar los conceptos de menores y cofactores:
DEFINICION DE LOS MENORES Y COFACTORES DE UNA MATRIZ
Si A es una matriz cuadrada, entonces el menor Mij del elemento aij es el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar el i-esimo renglón y la j-esima columna de A. El cofactor Cij esta dado por:
Cij = (-1)i+j Mij
Porejemplo, si A es una matriz 3x3, entonces los menores de a21 y a22 se muestran en el diagrama siguiente:
Menor de a21 Menor de a22
a11a12a13a21a22a23a31a32a33 M21= a12a13a32a33 a11a12a13a21a22a23a31a32a33 M22= a11a13a31a33
Eliminar renglón 2 y columna 1 Eliminar renglón2 y columna 2
Los menores y cofactores de una matriz difieren a lo sumo en el signo. Para obtener los cofactores de una matriz, primero se determinan los menores y luego se aplica el siguiente patrón de tablero de ajedrez de signos “+” y “-“
Patrón de signos para cofactores
+-+-+-+-+ matriz 3x3 +-+-+-+-+ -+-… matriz nxn
EJEMPLO: Determinación de losmenores y cofactores de una matriz
Encuentre todos los menores y cofactores de
A=0213-12401
Solución: Para encontrar el menor M11, se eliminan el primer renglón y la primera columna de A y se evalúa el determinante de la matriz resultante.
0213-12401, M12= -1201= -11-02=-1
De manera semejante, para encontrar M12, se eliminan el primer renglón y la segunda columna.
0213-12401, M12=3241=31-42=-5
Al continuar con este patrón se obtienen los siguientes menores:
M11= -1 M12= -5 M13=4
M21 =2 M22= -4 M23= -8
M31=5 M32= -3 M33= -6
Luego, para encontrar los cofactores, se combina elpatrón cuadrado de tablero de ajedrez de signos con estos menores para obtener
C11=-1 C12=5 C13=4
C21= -2 C22= -4 C23=8
C31=5 C32=3 C33= -6

DEFINICION DELDETERMINANTE DE UNA MATRIZ
Si A es una matriz cuadrada (de orden mayor o igual que 2), entonces el determinante de A es la suma de los elementos en el primer renglón de A multiplicados por sus cofactores. Es decir:
A=j=1naijcij= a11c11+ a12c12 …+ a1nc1n
Cuando esta definición se usa para evaluar un determinante, se dice que se efectúa un desarrollo por cofactores. Ejemplo:
El determinante de unamatriz de orden 3
Encuentre el determinante de:
0213-12401
Solución: Observe que esta matriz es la misma del ejemplo 2. Ahí se encontró que los cofactores de los elementos en el primer renglón son:
C11= -1 C12=5 C13= 4
Por consiguiente, por la definición de determinante, se tiene lo siguiente:
A= a11C11+...