El diablo de las matematica

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1. MEDIDAS ESTADÍSTICAS UNIVARIANTES
1.1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Al ver la forma de representar los conjuntos de datos en histogramas y
polígonos de frecuencia se puso de relieve un comportamiento peculiar de estos, y
es el de mostrar una tendencia a agruparse alrededor de los datos más
frecuentes, haciendo de esta forma que estas representaciones adquieran una
forma de campana.Esta tendencia al agrupamiento de los datos hacia la parte
central de los gráficos que los representan da lugar a lo que se conoce como
medidas de tendencia central, correspondientes a la media, mediana y moda
1.1.1. Media aritmética
Es la medida más conocida y la más fácil de calcular. Se define como la
suma de los valores de una cantidad dada de números dividido entre la cantidad
denúmeros.
n
X
x
n
i
i Σ=
= 1
donde:
n = cantidad de elementos
Xi = valor de cada elemento
x = media aritmética, o simplemente media
El precio de la bolsa de un litro de leche en diferentes supermercados fue: $1.300,
$1.350, $1.250, $1.400 y $1.325. El valor promedio o media aritmética es
entonces:
$1.325
5
1.300 1.350 1.250 1.400 1.325 =
+ + + +
x =
La media aritmética tiene lapropiedad de asignar a cada elemento de la suma el
mismo valor, o sea el valor promedio.
Si se conoce el valor de la media y el número n de elementos u
observaciones, se puede conocer el valor de la suma total multiplicando la media
EJEMPLO 1.1.
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por el número de elementos. Esto es:
X n x
n
i
i ⋅ = Σ
=1
Las ventas de un almacén durante el primer semestre del año fueron $3’422.000;
hallar eltotal de ventas de este período de tiempo.
Venta total primer semestre = 6 x (3’422.000) = $20’532.000
También puede suceder que los elementos que se analizan se encuentren
agrupados, en este caso para encontrar el valor de la media aritmética se debe
realizar la ponderación de estos elementos agrupados, es decir, encontrar el peso
que le corresponde a cada valor. Esto da lugar a la mediaaritmética ponderada.
Un agricultor vende la cosecha de papas de la siguiente forma: 30 sacos a
$256.000, 18 sacos a $264.000 y 25 sacos a $261.500. ¿Cuál es el precio
promedio del saco de papa vendida por el agricultor?
Precio promedio saco de papa =
30 18 25
30(256.000) 18(264.000) 25(261.500)
+ +
+ +
=$259.856
La media ponderada se halla al realizar el cociente entre la suma de losproductos de los valores por sus respectivos pesos y la suma de los pesos. El
caso general se expresa así:
Σ
Σ
=
= =
+ + +
+ + +
= n
i
i
n
i
i i
n
n n
m
m X
m m m
x m X m X m X
1
1
1 2
1 1 2 2 . . .
K
K
Siendo X1 X2,… Xn, las cantidades ponderadas y m1, m2,,…, mn los pesos o
ponderaciones.
EJEMPLO 1.3.
EJEMPLO 1.2.
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Un caso similar al anterior consiste en la media deuna distribución de
frecuencias agrupadas, donde los pesos o ponderaciones corresponderían a las
frecuencias de los valores de las marcas de clase, recordando que la marca de
clase es el valor promedio de un intervalo de clase. Esta similitud entre la media
de una distribución de frecuencias agrupadas y la media aritmética ponderada se
muestra en el siguiente ejemplo.
Dada la siguientedistribución de frecuencias agrupadas, calcule su
correspondiente media aritmética:
Tabla 1.1.
Distribución de frecuencias agrupadas
Intervalo Marca de clase
X
Frecuencia
f f .X
16-20 18 4 72
21-25 23 6 138
26-30 28 7 196
31-35 33 5 165
36-40 38 3 114
Total 25 685
27.4
25
. 685
= =

= Σ
Σ
f
f X
x
De lo anterior puede verse que:
n
f X
f
f X
x n
i
i
n
i
i i Σ
Σ
Σ ⋅
==
=
=
1
1
Dada la importancia que tiene el cálculo de la media aritmética y su
frecuente uso, se hace necesario considerar algunas de sus propiedades:
• La suma de las desviaciones respecto a la media aritmética es igual a cero.
EJEMPLO 1.4.
75
Una desviación es la diferencia que se presenta entre los valores que toma la
variable y un valor constate, en este caso es la media...
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