El Numero Real Desigualdades E Inecuaciones 0

Universidad Nacional de Rosario
Facultad de Ciencias Económicas y Estadística
Ejercicios complementarios del libro “ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA PARA CIENCIAS ECONÓMICAS”
Sagristá R.,Koegel L. y otros autores

Capítulo 1:“El número real - Desigualdades e inecuaciones”
1. Resuelve los sistemas de inecuaciones y representa en el eje real dichas soluciones.

 3x + 2 x
 − 2 > 2 − x
a) 

2( x+ 1) ≤ 8
3( x − 1)
1 − 3x
 − 2 > −2 x + 2


b)  x + 1 ≤ 3


 x > x − 4 + − x +1
 2
2
3
4 x 2 − 3 ≤ 5 + 2 x 2

c) 
 2x − 6 > 4


2. Encuentra el conjunto solución para cada una de las siguientes inecuaciones. Expresa
dicha solución en forma de intervalo, si es posible y representa en el eje real dichas
soluciones.

2 x − 5 − 3x 2 + 3
−
< −x 2 + 1
5
−3
1
b) 3 − ≥ 2
x
− x −1
c)
≤2
−3x − 1
a)

3. Dados los siguientes conjuntos:
7+ x 

A = x ∈ R /
< 1
x





3
B =  x ∈ R / 2. x − ≥ 1
2





 x−4
C =  x ∈ R / 3
 ≤ 6
 4 



Encuentra y representa en el eje real el conjunto solución de:
a)
b)

∩
∪

Autoras: Luciana Calderón – Marías de los Ángeles Fernández – Lidia Nieto

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c) C
4. Determina la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones. En caso de ser
verdadero explica la propiedad utilizada y en caso de ser falso, proporciona un
contraejemplo.
1 1
a) 0 < x < 2 ⇒ <
x 2
b)

x2 = x ∀ x ∈ R

Autoras: Luciana Calderón – Marías de losÁngeles Fernández – Lidia Nieto

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Respuestas a los ejercicios propuestos:
1.
a) S = (− ∞; − 1)
 1 
b)S =  − ; 2
 2 

c)

S= φ

2.
5

a) S =  − ∞; 
2


b) S = (− ∞; 0 ) U [1;+∞ )
1 1


c) S =  − ∞; −  U − ;+∞ 
3  5



3.
a) S = (− ∞; 0 )
b) S = (− ∞; 1] U [2;+∞ )
c) S = [− 4; 12 ]
4.
a) Falso. Considera x=1 0 < 1 < 2 ⇒ 1 >
b) Falso:

1
2

x 2 = x .Considera por ejemplo x= -2

Autoras: Luciana Calderón – Marías de los Ángeles Fernández – Lidia Nieto

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Ejercicios resueltos.
1. a)
Para poder resolver el siguiente sistema de inecuaciones, debemos resolver cada una de las
desigualdades, llamando S1 y S2 a cada una de las respectivas soluciones. El conjunto solución
del sistema es la intersección de las soluciones S1 y S2.

Resolvemos la primera inecuación
3x+ 2 x
x

> − x ⇔ 3 x + 2 < −2 − x  ⇔ 3x + 2 < − x + 2 x ⇔ 3x + 2 < x ⇔
−2
2
2


3x − x < −2 ⇔ 2 x < −2 ⇔ x < −1
Es decir,

S1 = {x ∈ R / x < −1} = (− ∞;−1)

Resolvemos la segunda inecuación
2( x + 1) ≤ 8 ⇔ 2 x + 2 ≤ 8 ⇔ 2 x ≤ 6 ⇔ x ≤ 3

Es decir,

S 2 = {x ∈ R / x < 3} = (− ∞;3)

Luego el conjunto solución del sistema es: S = S1 ∩ S 2 = {x ∈ R / x < −1} = (− ∞;−1)
La representación gráficaen el eje real es:

b)
Para poder resolver el siguiente sistema de inecuaciones, debemos resolver cada una de las
desigualdades, llamando S1 y S2 a cada una de las respectivas soluciones. El conjunto solución
del sistema es la intersección de las soluciones S1 y S2
Resolvemos la primera inecuación
4x 2 − 3 ≤ 5 + 2x 2 ⇔ 4x 2 − 2x 2 ≤ 5 + 3 ⇔ 2x 2 ≤ 8 ⇔ x 2 ≤ 4 ⇔

x2 ≤ 4 ⇔ x ≤ 2 ⇔

−2≤ x ≤ 2Autoras: Luciana Calderón – Marías de los Ángeles Fernández – Lidia Nieto

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Es decir, S1 = {x ∈ R / − 2 ≤ x ≤ 2} = [− 2;2]
Resolvemos la segunda inecuación

2 x − 6 > 4 ⇔ 2 x > 4 + 6 ⇔ 2...