EL PLANO COMPLEJO EXTENDIDO

El plano complejo extendido


En matemática, la esfera de Riemann (o plano complejo extendido), llamada así en honor al matemático del siglo XIX Bernhard Riemann, es una esfera obtenida delplano complejo mediante la adición de un punto del infinito. La esfera es la representación geométrica de los números complejos extendidos, denotado como ó,1 (véase fig.1 y fig.2), la cual consiste en losnúmeros complejos ordinarios en conjunción con el símbolo para representar el infinito.
Los números complejos extendidos son comunes en análisis complejo porque permiten la división por cero enalgunas circunstancias, en el sentido de hacer expresiones tales como

bien definidas. Por ejemplo, cualquier función racional sobre el plano complejos puede ser extendida como una función continuasobre la esfera de Riemann, con los polos de la función racional mapeados al infinito. Más generalmente, cualquier función meromorfa puede ser pensada como una función continua cuyo codominio es la esferade Riemann.
En geometría, la esfera de Riemann es el ejemplo prototípico de una superficie de Riemann, y una de las más simples variedades complejas. En geometría proyectiva, la esfera puede serpensada como la recta proyectiva compleja , el espacio proyectivo de todos las rectas complejas en . Como con cualquier superficie de Riemann compacta, la esfera también puede ser vista como una curvaalgebraica proyectiva, haciendo de esto un ejemplo fundamental de geometría algebraica. También encuentra utilidad en otras disciplinas que dependen del análisis y de la geometría, como puede ser lamecánica cuántica y otras ramas de la física.

Definición de la transformación de mobius
En geometría, una transformación de Möbius es una función de la forma:

donde z, a, b, c, d son númeroscomplejos que verifican que ad − bc ≠ 0.
Una transformación de Möbius puede verse en el plano complejo como la composición de una proyección estereográfica del plano sobre la esfera, seguida de una...