El secreto de los zapatos viejos

MATEMATICA BASICA 1

Ing. G. RAMIRO PRO AÑO VITERI, Msc.

PROFESOR, ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
CAPITULO 1

INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA

1. Proposiciones

Proposición

Es una expresión verbal o escrita en la cual se afirma o se niega algo.
Ejemplo 1 Son enunciados: El Metal es transparente
3 -1 =2
1+1=4El es más alto que yo
1>2 y1=2
No son enunciados: ¿Cómo te llamas?; ¡Ven!

Valor de Verdad:

Una proposición es verdadera o es falsa, y decimos que su valor de verdad o de certeza es verdadero (V) o falso (F) respectivamente.

Si no se puede determinar si una proposición es verdadera o falsa, la analizaremos considerando sus posiblesvalores de verdad.

Ejemplo 2 Consideremos la proposición: 1+1=2.
No podemos determinar su valor de verdad pues, nos falta una información adicional; diremos únicamente que puede ser verdadera o falsa.

En este tema consideraremos a los "números" 0,1,2,3, 4,..,..n, como enteros y usaremos las propiedades que intuitivamente hemos aceptado para estos "números". Bajo estaconsideración la proposición "1+1=2" es verdadera.

Ejemplo 3 1 = 2 falsa
1+3 > 2 verdadera
2-5 = 3 falsa

El valor de certeza de la proposición compuesta depende de la propiedad de los operadores que la conforman. Por ello determinaremos los operadores y sus propiedades

Proposiciones abiertas

Las proposiciones abiertas o funciones proposicionales son aquellas cuyovalor de verdad depende del dato necesario o valor por el que se reemplace a la variable

Ejemplo 4 Analicemos la proposición 2 + x = 4
Si x = 2 2+2=4 es una proposición verdadera
Si x = 1 2+1=4 es una proposición falsa

En conclusión: 2 + x =4 es una proposición abierta o una función proposicional

Términos Lógicos:

Lostérminos lógicos son "y", "no", "o",”o”, "Si..., entonces","... si y sólo si..."

Proposición Simple:
Una proposición es simple si y sólo si no tiene términos lógicos. Se la puede representar generalmente por p, q, r, s, o t.

Ejemplo 5 A la proposición "1+2=3", la podemos simbolizar por p,
así: p: 1+2 = 3

2. Proposiciones compuestas, operadores lógicos

ProposiciónCompuesta:

Una proposición es compuesta siempre y cuando (si y sólo si) está formada por una o más proposiciones simples afectadas por términos lógicos.
Ejemplo 1 1=2 o 1>2
Si 2 – 2 = 0, 2 = 2
[pic]

Negación:

La negación de una proposición p, se representa por "[pic]" y se lee: "No es verdad que p", "Es falso que p", o "no p".
p es verdad si y sólo si p es falsa.

Lanegación no enlaza proposiciones simples por lo que es absurdo proponer
[pic]
Ejemplo 2 2 + 1 [pic] 4, se puede representar así:[pic]: 2+1[pic]4
p: 2 +1 = 4 es una proposición falsa , por lo que
[pic]: 2 + 1 [pic]4 es verdadera
Conjunción:
La conjunción de dos proposiciones, p y q, se representa por "p [pic] q";
y se lee p y q.
p [pic] q es verdadera si ysólo si p es verdad y q es verdad.

Ejemplo 3 Sea la proposición:" 2 +1=3 y 4 < 8". Si p: 2+1 = 3 y
q: 4 2o1+1=3 V (Verdadera)
4>6o2+2=5 F (Falsa)

Disyunción Exclusiva:
Se representa por o, o por " v ". "p o q" o " p v q " se lee:

"p o q pero no ambas"
p v q es verdad si y sólo si (p es verdad y q es falsa) o
( p esfalsa y q es verdad).

Ejemplo 5
3+3 > 4 v 7< 3
V F
V
3+2 = 6 o 5-2 = 2
F F
F
5 + 1=3 v 1-3< 1
F V
V
2>1 o -32" y q: "1 - 2 [pic] - 1", r: "4+2 =[pic]6". escriba en palabras las siguientes...