El teorema de godel

¨ EL TEOREMA DE GODEL
ERNEST NAGEL & JAMES R. NEWMAN

´ Indice 1. Introducci´n o 2. El problema de la consistencia 3. Pruebas absolutas de consistencia 4. La codificaci´n sistem´tica de la l´gica formal o a o 5. Un ejemplo de prueba absoluta de consistencia 6. La idea de representaci´n y su empleo en las matem´ticas o a ¨ 7. Las pruebas de Godel 7.1. La numeraci´n de G¨del o o 7.2. Laaritmetizaci´n de la metam´tematica o a 7.3. El n´cleo de la argumentaci´n de G¨del u o o 8. Reflexiones finales Notas a Pie de P´gina a Bibliograf´ ıa 1 3 13 18 23 29 35 35 38 41 47 49 67

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´ Introduccion

En 1931 apareci´ en una publicaci´n cient´ o o ıfica alemana un trabajo, relativamente corto, que llevaba el impresionante t´ ıtulode ((Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas ¨ conexos)). Su autor era Kurt Godel, a la saz´n un joven matem´tico de o a veinticinco a˜os de la Universidad de Viena y, desde 1938, miembro pern manente del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Dicho trabajo constituye una piedra miliaria en la historia de la l´gica y las matem´ticas. o aCuando la Universidad de Harvard le invisti´ como doctor honoris causa en o 1952, la menci´n describi´ la obra como uno de los m´s importantes avances o o a que en el campo de la l´gica se han realizado en los tiempos modernos. o En la ´poca de su publicaci´n, sin embargo, ni el t´ e o ıtulo del trabajo de ¨ Godel ni su contenido eran inteligibles para la mayor´ de los matem´tiıa a cos. Los PrincipiaMathematica mencionados en el t´ ıtulo son el monumental tratado en tres vol´menes debido a Alfred North Whitehead y Beru trand Russell sobre la l´gica matem´tica y los fundamentos de las mao a tem´ticas, y el conocimiento de esa obra no es un requisito indispensable a para la realizaci´n de una fructuosa investigaci´n en la mayor´ de las rao o ıa ¨ del versa sobre una mas de la ciencia matem´tica.Adem´s, el trabajo de Go a a serie de cuestiones que nunca han atra´ m´s que a un grupo relativamente ıdo a reducido de estudiosos. El razonamiento del teorema era tan nuevo en el momento de su publicaci´n, que s´lo quienes se hallaban pertrechados con o o un profundo conocimiento de la literatura t´cnica sumamente especializada e pod´ seguir y comprender plenamente la l´ ıan ınea argumentativadel mismo. ¨ Actualmente, sin embargo, las conclusiones establecidas por Godel son por todos reconocidas como verdaderamente revolucionarias por su honda significaci´n filos´fica. La finalidad del presente ensayo es hacer accesibles a o o ¨ los no especialistas el n´cleo esencial de los hallazgos de Godel y las l´ u ıneas generales de su teorema. ¨ El famoso trabajo de Godel se centr´ sobre unimportante problema rao dicado en el fundamento mismo de las matem´ticas. Antes de entrar de lleno a en su exposici´n, ser´ conveniente dar una breve explicaci´n del terreno en o a o que se desenvuelve dicho problema. Todo el que haya estudiado geometr´ ıa elemental recordar´, sin duda, que ´sta es ense˜ada como una disciplina dea e n ductiva. No se la presenta como una ciencia experimental, cuyosteoremas deban ser aceptados por hallarse de acuerdo con lo que ense˜a la observan ci´n. Esta idea de que una proposici´n puede ser establecida como conclusi´n o o o de una prueba l´gica expl´ o ıcita se remonta a los antiguos griegos, los cuales

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descubrieron lo que se conoce con el nombre de ((m´todo axiom´tico)) y lo e a utilizaron paraobtener un desarrollo sistem´tico de la geometr´ El m´todo a ıa. e axiom´tico consiste en aceptar sin prueba ciertas proposiciones como axioa mas o postulados (por ejemplo, el axioma de que entre dos puntos s´lo puede o trazarse una l´ ınea recta), y en derivar luego de esos axiomas todas las dem´s a proposiciones del sistema, en calidad ya de teoremas. Los axiomas constituyen los ((cimientos))...