El Teorema De La Bisectriz

El teorema de la bisectriz del ángulo interno de un triángulo es un teorema de la geometría elemental la cual es una consecuencia o corolario del Teorema de Tales.
En un triángulo, la razón entredos lados es igual a la razón de las partes en las que queda dividido el tercer lado por la bisectriz de ángulo interno opuesto. |
O lo que es equivalente:
Dado el triángulo ABC, sea AD la bisectrizdel ángulo interno A, entonces se cumple la proporción: |

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[editar] Demostración 1

Figura bz1 Demostración del teorema de la bisectriz aplicando la «Ley de senos».
Nomenclatura(correspondiente a la Figura bz1):

Aplicando el teorema del seno al triángulo tenemos:
(bz01)
Los ángulos “y” y “π-y” son suplementarios, lo cual implica que , entonces aplicando ahora el teorema delseno al triángulo tenemos:
(bz02)
Dividiendo m.a.m. la ecuación (bz01) por la ecuación (bz02) y simplificando obtenemos: , ∎.[1]
Demostración 2
Dibujando desde C una línea paralela a la recta ADhasta encontrar la prolongación de lado BA a partir del lado A y encontrándose en el punto E. El triángulo ACE es isósceles porque sus ángulos C y E son congruentes:

porque los dos ángulos sonalternos internos respecto a las rectas paralelas AD y EC cortadas por la recta transversal AC

porque son correspondientes a las rectas paralelas AD y EC a las cuales corta la recta BE, ademásporque los ángulos creados por la bisectriz son iguales.
Por la propiedad transitiva de la igualdad se tiene que

Por tanto los segmentos AC y AE son congruentes. Por el Teorema de Thales se mantienela proporción:

y ya que AC y AE son congruentes, también se cumple que

Demostración 3
El triángulo y el triángulo comparten altura h, y si (ABD) y (ACD) representan sus respectivas áreas, secumple que:

Sean F y G los pies de altura de los triángulos ABD y ACD en AB y AC respectivamente. EL ángulo BAD es congruente con el ángulo CAD, por ser AD bisectriz.
Los ángulos AFD y AGD son...