El teorema de la telarana

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Modelo de la Telaraña
Las variaciones en el nivel de precios de la economía como producto de la interacción entre las expectativas que los agentes económicos se forman con respecto al futuro comportamiento de esta variable, y la realidad, ha constituido uno de los principales factores que afectan el normal funcionamiento de la economía en su conjunto, alterando la dinámica de los precios delmercado.
Por lo tanto, si los agentes económicos basan sus expectativas de precios en el comportamiento pasado de dicha variable (periodo inmediatamente anterior) surgirá la posibilidad de una fuerte inestabilidad de la producción y precios.
Este proceso de interacción entre las expectativas y la realidad, es lo que se conoce hoy en día como “El Teorema de La Telaraña”, que debe su nombre a que lasenda seguida por el precio y la cantidad adopta la forma de una telaraña. Es considerado como un modelo dinámico simple donde las cantidades del producto que se van a ofrecer en el mercado, están en función del precio del mismo en el periodo inmediatamente anterior.
Supuestos básicos del Modelo:
1. Mercado de competencia perfecta.

2. La cantidad demandada en cada momento está enfunción del precio del producto en el periodo actual.

3. La cantidad ofrecida depende del precio del producto en el periodo inmediatamente anterior.

4. Economía cerrada.

5. Poca capacidad de almacenamiento, por lo que los productores aceptan el máximo precio que los demandantes quieran pagar para agotar la producción, aunque ese precio sea diferente del que ellos esperaban recibir.6. Los productores esperan recibir cada periodo el precio que prevaleció en el mercado el periodo anterior.  
Demostración Matemática
Caso #1: Función de demanda con pendiente negativa.
Cantidad Demandada:   a  -  b* Pt
Cantidad Ofertada: -d +  e*Pt-1
Para encontrar el equilibrio de mercado la cantidad ofertada debe ser igual a la cantidad demandada. Igualando la función de oferta con lade demanda, se obtiene:
                      a  -  b*Pt  =   -d  +  e*Pt-1       …………………..    (1)
Sumándoles un periodo (aplicando el operador E) y agrupando términos semejantes obtenemos:
           a  +  d  =  b*Pt+1   +  e*Pt     ……………………    (2)
Despejando en función de Pt+1, obtenemos la siguiente ecuación:
Pt+1 =   a  +  d    -   e*Pt             …………………………  (3)
                 b              b
Se asume para simplificar la complejidad: C = (a + d)/b; G= - (e/b) y sustituyendo las expresiones anteriores por las nuevas variables obtenemos la Ecuación 3 en forma abreviada:
Pt+1 =    G * Pt    +    F                   ………………………… (4)
Analizando la ecuación (4) que no es más que la ecuación (1) más resumida al interés de la demostración, podemos ver que es una ecuación en diferencialineal de la forma Yx+1- aYx = b (b constante), que queda de la siguiente forma:
Pt+1 - G * Pt  = F (F constante)………………………………………(5)
La solución de una ecuación en diferencia lineal de esta forma queda demostrada en el libro Análisis Matemático III y sintetizada en el recuadro 6.17 de la página 215. Por tanto queda de la siguiente forma:
Pt = Po * Gt + F * ( 1-Gt ) / ( 1-G) siendoG≠1..................(6)
A modo de comprobación se pueden obtener los precios para periodos futuros a partir de la ecuación 4:
P1 = G * Po  +   F                           
P2 = G * P1  +   F
P2 = G *(G * Po  +   F)    +   F
P2 = G² *Po   +  G*F     +      F         
P3 = G * P2    +    F
P3 = G *( G² * Po   +  G*F     +    F)    +    F
P3 = G³ * Po   +  G² *F    +    G * F     +    F
P3 = G³ *Po   + F* (G²   +  G   +   1)      
De modo general podemos comprobar que la solución planteada en la ecuación (6) se corresponde con los precios futuros hallados de forma consecutiva.
Sustituyendo los valores asumidos en la ecuación (4):

Pt = (-e/b) t * PO + [(a+ d)/b] * [(-e/b) t -1]/ [ (-e/b) -1]………………..(7)

Realizando operaciones matemáticas básicas:

Pt = (-e/b) t * PO...
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