El teorema fundamental del álgebra lineal

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL
ALGEBRA
Ferran Mir Sabaté
Universitat de Barcelona
March 4, 2005
Abstract
La historia del Teorema Fundamental del Álgebra, con un exámen
detallado de la demostración de Pierre Simon de Laplace de 1795.

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EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA.

El teorema fundamental del álgebra (TFA) dice que "toda ecuación polinómica
de grado n con coe…cientes complejostiene n raíces complejas".
De hecho existen múltiples formulaciones equivalentes; por ejemplo que todo
polinomio real puede expresarse como producto de factores reales lineales y
cuadráticos. 1
Los primeros estudios de las ecuaciones de Al-Khwarizmi (c 800) sólo permitían las raíces reales positivas y, por tanto, el TFA no tenía relevancia alguna.
Fue Cardano el primero en darse cuenta de quese podía trabajar con cantidades
más generales que los números reales. Este descubrimiento lo hizo estudiando
la ecuación cúbica con el …n de encontrar una fórmula para encontrar sus raíces.
Cuandop
aplicó su fórmula a la ecuación x3 = 15x + 4 obtuvo una solución que
121, cuando Cardano sabía que la solución debía ser x = 4. A pesar
incluía
de que Cardano fue capaz de manipular estos ’números complejos’ la realidad
,
es que él mismo no los entendió en profundidad.
Fue Bombelli, en su Algebra, publicada en 1572, el primero en dar una serie
de reglas para manipular estos ’
números complejos’(reglas de los signos: meno
1 Gilain en su artículo de 1991 [3, pag. 92] da tres formas equivalentes de formularlo:
a) Todo polinomio de grado n 1 con coe…cientes complejos (o reales) tieneal menos una
raíz compleja.
b) Todo polinomio de grado n
1 con coe…cientes complejos (o reales) se descompone
en un producto de n factores lineales con coe…cientes complejos y admite n raíces complejas
(distintas o múltiples).
c) Todo polinomio de grado n
1 con coe…cientes reales puede descomponerse en un
producto de factores reales de primer o segundo grado.

1

di meno, piu di meno,etc.). Descartes en su La Geometrie, publicada en 1637,
dice que se puede imaginar para toda ecuación de grado n, n raíces, pero estas
raíces imaginarias no corresponden a ninguna cantidad real.
El primer matemático en declarar que las ecuaciones de grado n tienen n
raíces fue Albert Girard en su Nouvelle invention en Algebre publicada en 1629.
Sin embargo, Girard no dice que las solucionespuedan ser de la forma a + bi,
con a y b reales2 , lo que permitía que las soluciones procedieran de un campo
mayor que C. Este fue el problema que se abordó, ya que los matemáticos
de la época aceptaron la a…rmación de Girard como auto evidente: Creían
(sin demostración) que una ecuación polinómica de grado n había de tener n
soluciones; el problema era demostrar que estas raíces eran de laforma a + bi
con a; b 2 R. 3
Desde Harriot se sabía que un polinomio que se iguala a cero en t tiene una
raíz x t pero ello no fue fundamentado de…nitivamente hasta 1637, con La
Geometrie de Descartes, quien a…rmó que el polinomio, entonces, era divisible
por x t y, de esta forma, P (x) = (x t)Q(x), donde Q(x) es un grado inferior
a P (x).
Al empezar el siglo XVIII, la solución del problemase hizo más perentoria
porque el inicio del cálculo diferencial (Newton, Leibniz, Bernoulli) hacía necesario saber si cualquier polinomio podía descomponerse en factores de primer
Z
P (x)
y segundo grado para poder calcular la integral
Q(x) dx, donde P y Q son

polinomios de x y el grado de Q(x) es superior al de P (x). En este contexto,
hay que señalar que Newton ya había a…rmado que lassoluciones imaginarias
sólo pueden darse en pares conjugados. Bernoulli, por su parte, relaciona los
números complejos con las funciones circulares4 .
Leibniz en 1702 dió una prueba de que el TFA era falso a…rmando que
x4 + a4 nunca podría ser de…nido como producto de factores cuadráticos reales.
Su error procedía de descomponer el polinomio de la siguiente forma: x4 +
pp
pp
p p
p p...