El Triangulo De Sierpinski
Páginas: 13 (3174 palabras)
Publicado: 7 de noviembre de 2013
El Triángulo de Sierpinski
Descripción
El triángulo de Sierpinski es un fractal que se puede construir a partir de cualquier triángulo.
El matemático polaco Waclaw Sierpinski introdujo este fractal en 1919. Partamos (iteración n=0) de la superficie de un triángulo equilátero de lado unidad. Seguidamente (iteración n=1) tomemos los puntos medios de cada lado y construyamos apartir de ellos un triángulo equilátero invertido de lado 1/2. Lo recortamos. Ahora (iteración n=2) repetimos el proceso con cada uno de los tres triángulos de lado 1/2 que nos quedan. Así que recortamos, esta vez, tres triángulos invertidos de lado 1/4. En la figura animada observamos hasta cinco iteraciones sucesivas. Si repetimos infinitamente el proceso obtendremos una figura fractal denominadatriángulo de Sierpinski.
Sierpinski diseñó este monstruo para demostrar, entre otras cosas, que era posible construir una curva que se "cruzaba" consigo misma en todos sus puntos.
Podemos hacer construcciones semejantes al triángulo de Sierpinski en 3 dimensiones con tetraedros.
El triángulo de Sierpinski se puede descomponer en tres figuras congruentes. Cada una de ellas conexactamente la mitad de tamaño de la original. Si doblamos el tamaño de una de las partes recuperamos el triángulo inicial. El triángulo de Sierpinski está formado por tres copias auto similares de él mismo. Decimos que es auto similar.
La Alfombra o Tapiz de Sierpinski
La alfombra de Sierpiński es un conjunto fractal descrito por primera vez por Wacław Sierpiński en 1916.1 Constituye unageneralización a dos dimensiones del conjunto de Cantor. Comparte con él muchas propiedades: también es un conjunto compacto, no numerable y de medida nula. Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es \log(8)/\log(3)\approx 1,892789...
No debe confundirse con otras generalizaciones como el polvo de Cantor.
Es universal para todo objeto compacto del plano. Así, cualquier curva dibujada en elplano con las auto intersecciones que queramos, por complicada que sea, será homeomorfa a un subconjunto de la alfombra de Sierpinski.
Construcción
La construcción de la alfombra de Sierpinski se define de forma recursiva:
1. Comenzamos con un cuadrado.
2. El cuadrado se corta en 9 cuadrados congruentes, y eliminamos el cuadrado central.
3. El paso anterior vuelve a aplicarse recursivamentea cada uno de los 8 cuadrados restantes.
La alfombra de Sierpinski es el límite de este proceso tras un número infinito de iteraciones.
Biografía de Waclaw Sierpinski
Wacław Franciszek SierpENKINS (IPA: ˈvaʦwaf fraɲˈʨiʂɛk ɕɛrˈpʲiɲskʲi, n. 14 de marzo de 1882, Varsovia - m. 21 de octubre de 1969 en Varsovia) fue un matemático polaco. Son notables sus aportaciones a la teoría deconjuntos, la teoría de números, la topología y la teoría de funciones. En la teoría de conjuntos que realizó importantes contribuciones para el axioma de elección y la hipótesis del continuo. Estudió la teoría de la curva que describe un camino cerrado que contiene todos los puntos interiores de un cuadrado. Publicó más de 700 trabajos y 50 libros.
Tres conocidos fractales llevan su nombre: eltriángulo de Sierpinski, la alfombra de Sierpinski y la curva de Sierpinski. También los números de Sierpinski en teoría de números han sido nombrados así en su honor.
Educación
Sierpiński ingresó en el Departamento de Matemáticas y Física de la Universidad de Varsovia en 1899 y se graduó cuatro años después. En 1903, estando él todavía en la universidad, el Departamento de Matemáticas yFísica ofreció un premio al mejor ensayo de un alumno sobre la contribución de Georgi Voronói a la teoría de números. La medalla de oro fue concedida a Sierpiński por la que fue su primera gran aportación matemática. Al no estar dispuesto a que el trabajo se publicara en ruso, lo retuvo hasta 1907, año en que se publicó en la revista matemática de Samuel Dickstein, «Trabajos de matemáticas y...
Descripción
El triángulo de Sierpinski es un fractal que se puede construir a partir de cualquier triángulo.
El matemático polaco Waclaw Sierpinski introdujo este fractal en 1919. Partamos (iteración n=0) de la superficie de un triángulo equilátero de lado unidad. Seguidamente (iteración n=1) tomemos los puntos medios de cada lado y construyamos apartir de ellos un triángulo equilátero invertido de lado 1/2. Lo recortamos. Ahora (iteración n=2) repetimos el proceso con cada uno de los tres triángulos de lado 1/2 que nos quedan. Así que recortamos, esta vez, tres triángulos invertidos de lado 1/4. En la figura animada observamos hasta cinco iteraciones sucesivas. Si repetimos infinitamente el proceso obtendremos una figura fractal denominadatriángulo de Sierpinski.
Sierpinski diseñó este monstruo para demostrar, entre otras cosas, que era posible construir una curva que se "cruzaba" consigo misma en todos sus puntos.
Podemos hacer construcciones semejantes al triángulo de Sierpinski en 3 dimensiones con tetraedros.
El triángulo de Sierpinski se puede descomponer en tres figuras congruentes. Cada una de ellas conexactamente la mitad de tamaño de la original. Si doblamos el tamaño de una de las partes recuperamos el triángulo inicial. El triángulo de Sierpinski está formado por tres copias auto similares de él mismo. Decimos que es auto similar.
La Alfombra o Tapiz de Sierpinski
La alfombra de Sierpiński es un conjunto fractal descrito por primera vez por Wacław Sierpiński en 1916.1 Constituye unageneralización a dos dimensiones del conjunto de Cantor. Comparte con él muchas propiedades: también es un conjunto compacto, no numerable y de medida nula. Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es \log(8)/\log(3)\approx 1,892789...
No debe confundirse con otras generalizaciones como el polvo de Cantor.
Es universal para todo objeto compacto del plano. Así, cualquier curva dibujada en elplano con las auto intersecciones que queramos, por complicada que sea, será homeomorfa a un subconjunto de la alfombra de Sierpinski.
Construcción
La construcción de la alfombra de Sierpinski se define de forma recursiva:
1. Comenzamos con un cuadrado.
2. El cuadrado se corta en 9 cuadrados congruentes, y eliminamos el cuadrado central.
3. El paso anterior vuelve a aplicarse recursivamentea cada uno de los 8 cuadrados restantes.
La alfombra de Sierpinski es el límite de este proceso tras un número infinito de iteraciones.
Biografía de Waclaw Sierpinski
Wacław Franciszek SierpENKINS (IPA: ˈvaʦwaf fraɲˈʨiʂɛk ɕɛrˈpʲiɲskʲi, n. 14 de marzo de 1882, Varsovia - m. 21 de octubre de 1969 en Varsovia) fue un matemático polaco. Son notables sus aportaciones a la teoría deconjuntos, la teoría de números, la topología y la teoría de funciones. En la teoría de conjuntos que realizó importantes contribuciones para el axioma de elección y la hipótesis del continuo. Estudió la teoría de la curva que describe un camino cerrado que contiene todos los puntos interiores de un cuadrado. Publicó más de 700 trabajos y 50 libros.
Tres conocidos fractales llevan su nombre: eltriángulo de Sierpinski, la alfombra de Sierpinski y la curva de Sierpinski. También los números de Sierpinski en teoría de números han sido nombrados así en su honor.
Educación
Sierpiński ingresó en el Departamento de Matemáticas y Física de la Universidad de Varsovia en 1899 y se graduó cuatro años después. En 1903, estando él todavía en la universidad, el Departamento de Matemáticas yFísica ofreció un premio al mejor ensayo de un alumno sobre la contribución de Georgi Voronói a la teoría de números. La medalla de oro fue concedida a Sierpiński por la que fue su primera gran aportación matemática. Al no estar dispuesto a que el trabajo se publicara en ruso, lo retuvo hasta 1907, año en que se publicó en la revista matemática de Samuel Dickstein, «Trabajos de matemáticas y...
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