Elasticidad

La elasticidad es estudiada por la teoría de la elasticidad, que a su vez es parte de la mecánica de sólidos deformables. La teoría de la elasticidad (ETE) como la mecánica de sólidos (MS) deformables describe cómo un sólido (o fluido totalmente confinado) se mueve y deforma como respuesta a fuerzas exteriores. La diferencia entre la TE y la MS es que la primera sólo trata sólidos en que lasdeformaciones son termodinámicamente reversibles y en los que el estado tensiones \boldsymbol{\sigma} en un punto \mathbf{x} en un instante dado dependen sólo de las deformaciones \boldsymbol{\varepsilon} en el mismo punto y no de las deformaciones anteriores (ni el valor de otras magnitudes en un instante anterior). Para un sólido elástico la ecuación constitutiva funcionalmente es de la forma:\boldsymbol{\sigma}(\mathbf{x},t) = \hat{T}(\boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf{x},t);\mathbf{x}), \qquad \qquad
\hat{T}:\mathcal{T}_2(\R^3) \times \R^3 \to \mathcal{T}_2(\R^3)

donde \scriptstyle \mathcal{T}_2(\R^3) denota el conjunto de tensores simétricos de segundo orden del espacio euclídeo. Si el sólido es homogéneo el valor de la función anterior no dependerá del segundo argumento.

Lapropiedad elástica de los materiales está relacionada, como se ha mencionado, con la capacidad de un sólido de sufrir transformaciones termodinámicas reversibles e independencia de la velocidad de deformación (los sólidos viscoelásticos y los fluidos, por ejemplo, presentan tensiones dependientes de la velocidad de deformación). Cuando sobre un sólido deformable actúan fuerzas exteriores y éste sedeforma se produce un trabajo de estas fuerzas que se almacena en el cuerpo en forma de energía potencial elástica y por tanto se producirá un aumento de la energía interna. El sólido se comportará elásticamente si este incremento de energía puede realizarse de forma reversible, en este caso se dice que el sólido es elástico.

Elasticidad lineal[editar]
Un caso particular de sólido elástico sepresenta cuando las tensiones y las deformaciones están relacionadas linealmente, mediante la siguiente ecuación constitutiva:

\sigma_{ij} = \sum_{k,l} C_{ijkl}\varepsilon_{kl} \,

Cuando eso sucede se dice que el sólido es elástico lineal. La teoría de la elasticidad lineal es el estudio de sólidos elásticos lineales sometidos a pequeñas deformaciones de tal manera que además losdesplazamientos y deformaciones sean "lineales", es decir, que las componentes del campo de desplazamientos u sean muy aproximadamente una combinación lineal de las componentes del tensor deformación del sólido. En general un sólido elástico lineal sometido a grandes desplazamientos no cumplirá esta condición. Por tanto la teoría de la elasticidad lineal sólo es aplicable a:

Sólidos elásticos lineales, enlos que tensiones y deformaciones estén relacionadas linealmente (linealidad material).
Deformaciones pequeñas, es el caso en que deformaciones y desplazamientos están relacionados linealmente. En este caso puede usarse el tensor deformación lineal de Green-Lagrange para representar el estado de deformación de un sólido (linealidad geométrica).
Debido a los pequeños desplazamientos ydeformaciones a los que son sometidos los cuerpos, se usan las siguientes simplificaciones y aproximaciones para sistemas estables:

Las tensiones se relacionan con las superficies no deformadas
Las condiciones de equilibrio se presentan para el sistema no deformado
Para determinar la estabilidad de un sistema hay presentar las condiciones de equilibrio para el sistema deformado.

Tensión[editar]Componentes del tensor tensión en un punto P de un sólido deformable.
La tensión en un punto se define como el límite de la fuerza aplicada sobre una pequeña región sobre un plano π que contenga al punto dividida del área de la región, es decir, la tensión es la fuerza aplicada por unidad de superficie y depende del punto elegido, del estado tensional de sólido y de la orientación del plano...