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El método de los elementos finitos (FEM) (su aplicación práctica a menudo conocido como el análisis de elementos finitos (FEA)) es una técnica numérica para encontrar soluciones aproximadas a ecuaciones diferenciales parciales (PDE) y sus sistemas, así como (con menos frecuencia) ecuaciones integrales . En términos simples, FEM es un método para dividir un problema muy complicado en pequeñoselementos que pueden ser resueltos en relación unos con otros. FEM es un caso especial de la más general método de Galerkin con funciones de aproximación polinomial. El enfoque de solución se basa en la eliminación de las derivadas espaciales a partir de la PDE. Esto se aproxima a la PDE con
* un sistema de ecuaciones algebraicas para problemas de estado estacionario,
* un sistema deecuaciones diferenciales ordinarias para los problemas transitorios.
Estos sistemas de ecuaciones es lineal si la PDE subyacente es lineal, y viceversa. Sistemas algebraicos de ecuaciones se resuelven usando numéricos de álgebra lineal métodos. ecuaciones diferenciales ordinarias que surgen en los problemas transitorios son entonces numéricamente integrado usando técnicas estándar tales como el métodode Euler o el método de Runge-Kutta método.
En la resolución de ecuaciones diferenciales parciales , el desafío principal es crear una ecuación que se aproxima a la ecuación a estudiar, pero es numéricamente estable , lo que significa que los errores en la entrada y los cálculos intermedios no se acumulan y provocan la salida resultante de sentido. Hay muchas maneras de hacer esto, todos conventajas y desventajas. El método de los elementos finitos es una buena opción para la resolución de ecuaciones diferenciales parciales sobre dominios complicados (como los coches y los oleoductos), cuando los cambios de dominio (por ejemplo durante una reacción de estado sólido con un límite de movimiento), cuando la precisión deseada varía a lo largo de todo el dominio , o cuando la solución carecede suavidad. Por ejemplo, en una simulación de choque frontal, es posible aumentar la precisión de la predicción en "importantes" áreas como la parte delantera del coche y reducirlo en su parte posterior (reduciendo así el costo de la simulación). Otro ejemplo sería el de predicción numérica del tiempo , donde es más importante tener predicciones exactas sobre el desarrollo de los fenómenos nolineales (como los ciclones tropicales en la atmósfera, o remolinos en el mar) en lugar de las zonas relativamente tranquilas.
Técnico
Vamos a ilustrar el método de elementos finitos utilizando dos ejemplos de problemas que permitan identificar el método general extrapolados. Se supone que el lector está familiarizado con el cálculo y álgebra lineal .
problemas P1 y P2 ilustrativa
P1 es unproblema unidimensional

donde se da, es una función desconocida de , Y es la derivada segunda de con respecto a .
P2 es un problema de dos dimensiones ( problema de Dirichlet )

donde es una región conectada abierta en la plano cuya frontera es "agradable" (por ejemplo, un múltiple liso o un polígono ), y y denotan las derivadas con respecto al segundo y , Respectivamente.
El P1 problemapuede ser resuelto "directamente" por computación primitivas . Sin embargo, este método de resolver el problema de contorno sólo funciona cuando hay una dimensión espacial y no generaliza a problemas de dimensiones superiores o a problemas como los . Por esta razón, vamos a desarrollar el método de elementos finitos para P1 y esbozar su generalización a P2.
Nuestra explicación se desarrollaráen dos etapas, que reflejan dos pasos esenciales que uno debe tomar para resolver un problema de contorno (BVP), utilizando el FEM.
* En el primer paso, una reformula la BVP original en su forma débil. Poco o ningún cálculo se requiere generalmente para este paso. La transformación se realiza a mano en papel.
* El segundo paso es la discretización, donde se discretiza la forma débil en...