elementos finitos ejercicios

PROBLEMAS RESUELTOS:
MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Guillermo Rus Carlborg 1 ,
Esther Puertas García 2
Enero de 2008

1 Profesor

Contratado Doctor. Departamento de Mecánica de Estructuras. Universidad de Granada.
2 Profesor Ayudante. Departamento de Mecánica de Estructuras. Universidad
de Granada.

c copyright 2007: Guillermo Rus Carlborg, Esther Puertas García
Editor:Departamento de Mecánica de Estructuras, Universidad de Granada

G. Rus, E. Puertas

Problema 1
Se considera la viga empotrada en un extremo y sometida a axil p(x) representada en la figura. Empleando una discretización de dos elementos lineales
y una discretización de un elemento cuadrático y suponiendo que la carga es
constante p(x) = p0 y variable p(x) = p0 x.
L

Se pide:
1. Plantear elproblema teórico.
2. Discretizar y hallar las funciones de forma.
3. Obtener la matriz de rigidez.
4. Obtener el el vector de fuerzas externas.
5. Obtener el desplazamiento en el centro y extremo de la viga, comparando los resultados obtenidos para
L = 10m, E = 0.1M P a, A = 0.01m2 , p0 = 0.1N/m.

1

G. Rus, E. Puertas

Solución 1
1. Planteamiento teórico del Problema
Para obtener elproblema a resolver basta con aplicar las ecuaciones de equilibrio en una rebanada de la viga:

N + dN + p(x)dx − N = 0
dN
+ p(x) = 0
dx
Sabemos

t/2

N =

σxx b(z) dz = EA
−t/2

du
dx

sustituyendo en la expresión anterior:
d2 u
dN
+ p(x) = EA 2 p(x) = 0
dx
dx
En consecuencia, la formulación fuerte del problema se puede escribir:
Hallar u(x); x ∈ [0, L] tal que
EA u,xx (x) +p(x) = 0;
x ∈ (0, L)
u(0) = 0;
u,x (0) = 0
La formulación débil del problema consiste en aplicar un desplazamiento virtual v definido en [0, L] con las mismas condiciones de contorno e
integrar en el dominio:
L

−

L

EA u,xx (x)v(x)dx =
0

Integrando por partes el primer miembro
L
0
1

2

p(x)v(x)dx
0

1

u,xx (x)v(x)dx = u,x (x)v(x)|L −
0

L

u,x (x)v,x (x)dx
0
LPara las condiciones de contorno del problemam el producto u,x (x)v(x)|0 se anula.

G. Rus, E. Puertas
Se deduce
L
0

EA u,x (x)v,x (x)dx = EAu,x (x)v(x)|L +
0

L

p(x)v(x)dx
0

En consecuencia, la formulación débil del problema, equivalente el Principio de los Trabajos Virtuales2 es:
Hallar
L
0

1
u ∈ H0 (0, L)

EA u,x (x)v(x)dx = EAu,x (x)v(x)|L +
0

tal que

L
01
p(x)v(x)dx ∀v(x) ∈ H0 (0, L)

Dada una partición uniforme de [0, L] en n intervalos de igual longitud, el
problema discreto asociado sobre el espacio de elementos finitos construido
sobre esta partición a partir de las funciones de forma Hi se define:
Hallar u(x) ≃ H1 (x)u1 + H2 (x)u2 + · · · + HN (x)uN
n

e=1

(e)
xj
(e)

xi

EA u(e) (x)v,x (x)dx = EAu(e) (x)v(x)
,x
,x(e)

xj

(e)

xi

tal que

(e)
xj

+

(e)

p(x)v(x)dx

xi

Este planteamiento es análogo a resolver el sistema de ecuaciones:
Ku = f
(e)

1

(e)

(e)

L(e)

donde Kij = 0 Bi C (e) Bj J (e) A(e) dx′ ; fj = Fj + 0 p(x) Hj dx siendo
K la matriz de rigidez, u el vector de desplazamientos de los nodos y f el
L
(e)
vector de fuerzas externas, Fj = EAHj,x u(e) Hj 0 .Para el caso general, el problema discreto consiste en
e
Hallar ui (x1 , x2 , x3 ) = Hin (x1 , x2 , x3 )un
i

e

V

e

e
e
Cijkl Bijnc Bklmd dV un =
c
e

V

e

V
e
fd Hdm dV +
e

Se

tal que

S e
fd Hdm dS

2. Discretización y funciones de forma
Dos elementos lineales
La discretización empleada mediante dos elementos lineales se recoge en la
figura 1. Al definirse3 nodos, existen 3 grados de libertad, de éstos los nodos
2 y 3 están definidos en desplazamientos, el único grado de libertad en fuerzas
se define para el nodo 1.
2
En esta expresión el primer término representa el trabajo virtual interno que realizan
las tensiones reales en la viga sobre las deformaciones virtuales. Y el segundo término es
el trabajo virtual de las fuerzas exteriores...