Elementos finitos

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METODO ELEMENTOS FINITOS
Domingo Rojas Ossandon 1997-Enero-2009

Para que estudiar esto:
Para optimizar cualquier tipo de proceso, una alternativa es describirla por un sistema de ecuaciones diferenciales. Al tener un modelo descrito por ecuaciones diferenciales, es necesario desarrollarlas, la mayoría de los procesos reales modelados por ecuaciones diferenciales, no tienen una soluciónanalítica o es difícil obtenerla, por lo tanto es necesario aplicar métodos numéricos. Uno de los métodos más simple de aplicar es el método de diferencias finitas (MDF), El problema con el MDF, es que es complicado aplicarlo a geometrías complejas, hay un método que ha demostrado ser eficiente para aplicarlo a cualquier tipo de geometrías, este es conocido como método de elementos finito (MEF), Elobjetivo básico es aplicar este método a un modelo fenomenológico de lixiviación para dos o tres dimensiones, el cual lo tengo desarrollado por el MDF para una dimensión (1D). Para estudiar este método usare un modelo simple que tenga solución analítica para poder comparar los resultados obtenidos.

Que es el MEF
El método de Elementos Finitos, es una técnica numérica para resolver problemas que sepueden describir por ecuaciones diferenciales parciales EDP. Sin embargo los MEF no es un método numérico que procede directamente sobre la ecuación diferencial, como las diferencias finitas. El MEF requiere establecer una equivalencia entre la solución de la ecuación diferencial y la solución a un problema variacional. Por lo tanto, el mayor problema para entender esto es que hay que tener claroel Calculo Variacional, hay mucha literatura que explica que hay métodos que usan variacionales cuando se tiene un funcional y hay métodos para cuando no se tiene un funcional. Aquí aparece otro problema que confunde, el funcional, se sabe que son funciones que operan sobre funciones, aun no entiendo que es no tener un funcional, porque entiendo que una ecuación diferencial esta operando sobrefunciones, aun sin aclarar este concepto es posible entender este método. El problema es que los métodos no variacionales aplican unas multiplicaciones mágicas que analizándolo bien se fundamentan en la teoría de los variacionales, esto me tuvo confundido muchos años, en todo caso con lo que yo creo que estoy entendiendo me ha

permitido resolver mi primera ecuación diferencial por el MEF, y laverdad que ahora veo que todo era muy simple. Al comparar los métodos de MDF y MEF con respecto a la solución analítica, para el caso estudiado con dos intervalos (3nodos), con el MEF se obtiene la misma solución que la analítica, sin embargo con el MDF necesité más de 24 intervalos para obtener una solución con un error aceptable. Para entender el MEF, hay que entender los variacionales, midefinición de entender es: tener una ecuación diferencial que la construimos partiendo por los balances de masa, cantidad de movimiento o energía, conozcamos sus condiciones de borde e iniciales, que le apliquemos el método, y para pocos elementos, la resolvamos en el Excel. Posteriormente podremos realizar nuestro propio programa o utilizar paquetes comerciales o hasta el PDE del Matlab. Por lo tantolo primero que veremos será el calculo variacional, y la idea es verlo sin la rigurosidad matemática, debe ser lo mas simple posible, que es mi única forma que tengo de entender algo, además lo desarrollaremos en 1 dimensión (1D), extenderlo a 2D o 3D, debería ser trivial Utilizare el balance de energía más simple que conozco, que además de ayudar a entender el método entrega un importantesignificado físico en la mecánica.

Explicación Calculo Variacional
La energía de una partícula en movimiento bajo la acción de un potencial V(x) se puede escribir como:
1 ⎛ dx (t ) ⎞ 1 ET = mv 2 − V ( x(t )) = m⎜ ⎟ − V ( x(t )) 2 ⎝ dt ⎠ 2
2

(1)

La idea es cual sería la trayectoria para todos los movimientos imaginables descritos por x(t1)=x1 a x(t2)=x2 que minimice esta acción S ,...
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