Elipse y circunferencia

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APUNTES MATEMÁTICAS.

• Elipse.

Es el lugar geométrico de los puntos cuyas sumas de las distancias a dos puntos fijos es constante.

a = semieje mayor
b = semieje menor
c = semidistancia focal
2a = eje mayor
2b = eje menor
2c = distancia focal
f1 y f2 = focos

Ecuación ordinaria de una elipse con centro en el origen: x2/a2 + y2/b2=1

Ecuación general de una elipse con centroen el origen: 4x + 9y - 36=0

Ecuación ordinaria de una elipse con centro fuera del origen: (x-h)2/a2 + (y-k)2/b2=1

Ecuación general de una elipse con centro fuera del origen: 9x2 + 4y2 - 54x-16y + 61 = 0

Se sabe que es una ecuación de elipse si los términos cuadráticos tienen el mismo signo.

DIAGNÓSTICO

En la presentación general se diagnostica que es una elipse vertical uhorizontal cuando el término mayor está en “y” o “x”, es decir, si 4x + 9y = 36 entonces es una ecuación de una elipse horizontal.

Ejemplos:

25x2+ 4y2 = 100

100x2 + 9y2 - 400x + 108y - 176=0 Elipse vertical

4x2 + 25y2 - 150y + 125x = 0
Elipse horizontal
49x2 + 121y2 + 882x + 1694y + 3969 = 0

En la ecuación ordinaria se diagnostica a la inversa, es decir, que si el término mayor está en“x” la elipse es horizontal y si está en “y” es vertical.

Ejemplos:

X2/4 + y2/25 = 1
Elipse vertical
(x - 2)2/9 + (y + 6)2/100= 1

(x+9)2/121 + (y+7)2/49 = 1
Elipse horizontal
(x - 2)2/36 + y2/1 = 1

PARA SACAR FOCOS, VÉRTICES, EXTREMOS, EXCENTRICIDAD, LADO RECTO, ECUACIÓN ORDINARIA Y ECUACIÓN GENERAL.

*Focos.

Para sacar los focos, primero se saca “c” (c = raíz cuadradade a2 - b2) y se mantiene la “x” o “y” de las coordenadas del centro, (esto dependiendo si la elipse es vertical u horizontal) y a la coordenada que queda se le suma el valor de “c”. Por ejemplo, si es el caso de una elipse horizontal, se mantiene “y” y a la “x” se le suma “c”, en el caso de la vertical es a la inversa.

*Vértices.

Para sacar los vértices se mantiene la “x” en el caso de lasverticales o la “y” en el de las horizontales (de las coordenadas del centro) y a la otra coordenada se le suma y resta el semieje mayor “a”.

*Extremos.

Para sacar los extremos se mantiene “x” en el caso de las horizontales y “y” en el de las verticales (de las coordenadas del centro) y a la otra coordenada se le suma y resta el semieje menor “b”

*Lado recto.

Se utiliza la fórmula2b2/a (tanto para la elipse como para la circunferencia)

*Excentricidad.

Se utiliza la fórmula c/a (tanto para la elipse como para la circunferencia)

*Ecuación ordinaria.

Tenemos a la ecuación 49x2 + 36y2 + 784x - 360y +2272 = 0 y la queremos convertir a su forma ordinaria. Entonces realizamos lo siguiente:

Dividimos los términos que tienen “x” y “y” entre sí:

784/98 = 8 y tenemos:(x + 8)2

360/72 = -5 y tenemos: (y - 5)2

Nota: El 98 y el 72 salen de multiplicar el 49 y el 36 por el exponente 2, siempre se deberá hacer esto para que el resultado sea correcto.

Y así nos queda: (x + 8)2/36 + (y - 5)2/49 = 1 que es la forma ordinaria de nuestra ecuación.

*Ecuación general.

Tenemos (x - 7)2/25 + (y + 11)2/16 = 1 y queremos sacar su forma general. Bueno, hacemoslo siguiente:

16(x - 7)2 + 25(y + 11)2/400 = 1 Aquí agrupamos todo. Se multiplicaron los ejes mayor y menor (25 y 16) y por esto se va a dividir el todo. Así como también se cruzaron los ejes. (16(x - 7) y 25(y + 11))

Luego

16(x - 7)2 + 25(y + 11)2 = 400

Después elevamos al cuadrado al binomio obteniendo así dos trinomios cuadrados perfectos:

16(x2 - 14x + 49) + 25 (y2 + 22x + 121)= 400

Ahora multiplicamos los términos dentro del paréntesis con el número que esta a lado para agrupar todos los términos:

16x2 - 224x + 784 + 25y2 + 550y + 3025 = 400

Luego acomodamos los términos:

16x2 + 25y2 - 224x + 550y + 784 + 3025 = 400 = 0

Y finalmente tenemos la ecuación general.

16x2 + 25y2 -224x 550y + 3409 = 0

Ahora un ejemplo completo.
25x2 + 16y2 - 350x -...
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