Elipse y parabola

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ELIPSE

Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante.

La línea que une los dos focos se llama eje principal de la elipse A A’ y la mediatriz de los mismos eje secundario P P’.

Se llaman vértices de la elipse a los puntos donde ésta corta a sus ejes A ,A’,B,B’El punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse y la distancia entre ellos se llama distancia focal .

Generalmente el eje principal se representa por 2a y la distancia focal por 2c. Los valores a y c se llaman semieje principal y semidistancia focal , respectivamente.

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Cálculo del eje secundario

Name=2; HotwordStyle=BookDefault; Llamando 2b al eje secundario,P al vértice superior, O al centro y F y F ' a los focos de la elipse, por el teorema de Pitágoras:

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Por definición de elipse, [pic]


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A la distancia b se le llama semieje secundario.

Radio vector

Las distancias desde un punto de la elipse hasta cada uno de los focos se llaman radios vectores correspondientes adicho punto.

Ecuación canónica de la elipse

La ecuación de una elipse centrada en el origen y con focos en F(c, 0) y F'' (-c, 0) es

[pic]



Vértices de una elipse referida a sus ejes
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(0, b) y (0, -b).

• Eje principal:

El eje principal es el eje de abscisas, es decir y = 0. Para hallar su intersección con la elipse se resuelve el sistema:

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Losvértices son (a, 0) y (-a, 0)

• Eje secundario:

Se resuelve el sistema:

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Los otros dos vértices son (0, b) y (0, -b)


Reducción de la ecuación de una elipse

Dada una ecuación del tipo Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, ésta puede transformarse [pic]
por el método que se verá en los ejercicios de aplicación. Dicha ecuación se llama ecuación reducida de la elipse.Si el segundo miembro fuese 1, se tendría una elipse centrada en (x0, y0). Los ejes
de la elipse son las rectas x = x0 e y = y0. Los vértices son (x0 ± a, y0) y (x0, y0 ± b).

En otro caso, como una suma de cuadrados es siempre positiva, se tendría que ningún punto la verifica y se habla de una elipse imaginaria.
• Centro de la elipse: (1, -1)

• Focos: Para hallar los focos hay que observarque éstos se hallan en una recta horizontal que contiene al centro y a distancia c del mismo. Basta pues con sumar y restar c a la abscisa del centro.
• Los vértices se obtienen sumando y restando a las coordenadas del centro los semiejes de la elipse:


Interseccion de conicas

Los puntos de interseccion se obtienen resolviendo el sistema.


HIPÉRBOLA

Name=1; HotwordStyle=BookDefault;Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante (se representa por 2a).


La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola F F’ y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola.


El punto donde se cortan ambos ejes (que es, evidentemente, el punto medio delos focos) se llama centro de la hipérbola.


Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes (se verá que únicamente corta al eje real) se llaman vértices de la hipérbola.


Al igual que en la elipse, se llama distancia focal ( F F’ = 2 c )a la distancia entre los dos focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se les llama radios vectores del punto.A diferencia de la elipse, aquí se tiene 2c > 2a (por tanto c > a) y se puede
considerar [pic]. Este valor se llama semieje imaginario de la hipérbola.


[pic]
hipérbola.


Al igual que en la elipse, se considerarán en primer lugar las hipérbolas centradas en el origen de coordenadas y con focos en el eje de abscisas.



Cálculo de los radios vectores de un punto

En un punto P(x,...
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