Elipse

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Elipse

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Elipse
La elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usual es:
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos
es constante.

Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de
simetría –conángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.[1] Una elipse que gira alrededor de
su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un
esferoide alargado.

Historia
La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por
Menecmo, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a
Apolonio de Perge. El foco y ladirectriz de la sección cónica
de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler
creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde
descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco.
De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su
descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el
cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elípticaalrededor del Sol.[2]

Forma elíptica trazada en la antigüedad sobre un muro de
Tebas (Egipto).

Elipse

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Elementos de una elipse
La elipse es una curva plana y cerrada,
simétrica respecto a dos ejes
perpendiculares entre sí:
• El semieje mayor (el segmento C-a
de la figura), y
• el semieje menor (el segmento C-b
de la figura).
Miden la mitad del eje mayor y menor
respectivamente.Puntos de una elipse
Los focos de la elipse son dos puntos
equidistantes del centro, F1 y F2 en el
La elipse y algunas de sus propiedades matemáticas.
eje mayor. La suma de las distancias
desde cualquier punto P de la elipse a
los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor, (PF1 + PF2 = 2a).
Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que ladistancia F1F2, un punto P pertenecerá a
la elipse si se cumple la relación:

donde

es la medida del semieje mayor de la elipse.

Ejes de una elipse
El eje mayor 2a, es la mayor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. El resultado constante de la suma de
las distancias de cualquier punto a los focos equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos
puntosadversos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre si.

Excentricidad de una elipse
La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (segmento que va del centro de la
elipse a uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.
, con
Dado que

, también vale la relación:

o elsistema:

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su
excentricidad al valor cero.[3] La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon.
(No se debe usar la letra e para designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o neperianos.
Véase: número e).

Elipse

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Excentricidadangular de una elipse
La excentricidad angular
excentricidad , esto es:

es el ángulo para el cual el valor de la función trigonométrica seno concuerda con la

Constante de la elipse
En la figura de la derecha se muestran los
dos radio vectores correspondientes a cada
punto P de una elipse, los vectores que van
de los focos F1 y F2 a P. Las longitudes de
los segmentos correspondientesa cada uno
son PF1 (color azul) y PF2 (color rojo), y en
la animación se ilustra como varían para
diversos puntos P de la elipse.
Como establece la definición inicial de la
elipse como lugar geométrico, para todos los
puntos P de la elipse la suma de las
longitudes de sus dos radio vectores es una
una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor:
PF1 + PF2 = 2a
En la elipse...
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