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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

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8)
x2 + (7 − x)2 = 25
x2 + 49 − 14x + x2 = 25
2x2 − 14x + 24 = 0
x2 − 7x + 12 = 0

9)
7x2 + 21x − 28 = 0
x2 +3x − 4 = 010)
−x2 + 4x − 7 = 0
x2 − 4x + 7 = 0

ECUACIONES DE TERCER GRADO
Primer ejemplo
Sea la ecuacion de tercer grado:
2t3 + 6t2 + 12t + 10 = 0
Para resolverla sigamos los pasos descritosen el primer párrafo:
* t3 + 3t2 + 6t + 5 = 0 (al dividir por 2)
* Hacemos el cambio de variable x = t + 1, es decir t = x − 1 y obtenemos:
(x − 1)3 + 3(x − 1)2 + 6(x − 1) + 5 = 0desarollando la expresión anterior:
x3 + 3x + 1 = 0
* x = u + v, U = u3, V = v3 y nos imponemos U + V = − 1 y UV = − 1.
U y V son las raíces de | |

|

y finalmente: | |
[escribe]Segundo ejemplo
Este ejemplo es histórico porque fue el que tomó Bombelli quien fue, con Cardano, el primero en resolver ecuaciones del tercer y cuarto grado por el método ya expuesto (en la Italia delrenacimiento, en pleno siglo XVI).
La ecuación es x3 - 15x - 4 = 0.
Estudiando la función x → x3 - 15x - 4 o calculando el discriminante Δ = -13068 < 0, nos damos cuenta que esta ecuación tienetres raíces ( vean el cuadro 3 de la figura). Por lo tanto debería ser más facil que en el primer ejemplo encontrar una.
Los dos primeros pasos son inútiles. Pasamos al tercero: x = u + v , U = u3, V= v3.
U + V = 4 y UV = 125
U y V son las raíces de X2 - 4X + 125 = 0, ecuación cuyo discriminante ya hemos calculado y que es negativo. Por lo tanto no tiene raíces reales. Este método no permiteencontrar las raíces, todas reales, pasando obligatoriamente por los complejos. ¡ Es paradójico !
Esta constatación fue un argumento a favor de los complejos: son herramientas imprescindibles pararesolver ecuaciones, aunque sólo tengan soluciones reales.
Hallamos U = 2 - 11·i y V = 2 + 11·i. Extraer raíces cúbicas en los complejos no es lo mismo que en los reales. Hay dos métodos: uno...
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