Empalmes

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CURVAS DE BEZIER
Este método para construir curvas fue creado por el ingeniero francés Bezierpara utilizarse en el diseño de carrocerías de los automóviles Renault. Paracualquier conjunto deentrada de puntos de control, una curva de aproximaciónse forma anexando una secuencia de funciones polinomiales formada a partir delas coordenadas de los puntos de control.

Sean (x0,y0,z0),(x1,y1,z1),...,(xn,yn,zn) puntos interpolantes de unacurva.

Si tomamos un segmento de curva entre los puntos (xi,yi,zi) y(xi+1,yi+1,zi+1) y generalizamos para una curva de rapidez unitaria entre lospuntosreferidos, Pierre Bezier halló una curva cúbica y demostró queconstituye la mejor curva de aproximación usando 4 puntos de control.






Donde:

P0y P3 son los puntos de control; P1 y P2sonlos puntos que nosotros hallamos de las tangentes de los puntosextremos (puntos de control).

X(u)=au3 + bu2+ cu + d

a(u) Y(u)= eu3 + fu2+ gu + h 0£ t £ 1Z(t) = iu3 + ju2+ku + l

Es suficiente hallar para X(u) einferir para Y(u) y Z(u).

Si X(u) = au3 + bu2+cu + d

Las condiciones que encontramos sonlas siguientes:

X(0) = x0 X'(0) =3(x1-x0)

X(1) = x1 X'(1) = 3(x3-x2)

Aplicando las condiciones a: X(t) =at3 + bt2+ ct + d

Se obtiene:

X(0)= d

X(1) = a+b+c+dX'(u)= 3au2 + 2bu+ c

X'(0) = c

X'(1)= 3a+2b+c

... del sistema de ecuaciones:

d= X(0)c= X'(0)

a+b+c+d= X(1)

3a+2b+c= X'(1)

debemoshallar a, b, c y d

a= -x0+3x1-3x2+x3

b= 3x0-6x1+3x2+0x3

c= -3x0+3x1+0x2+0x3

d= x0+0x1+0x2+0x3

de donde:

a
-1
3
-3
1
x0

b...
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