Ensayo de la ingenieria mecanica

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UNIDAD IV
ESPACIOS VECTORIALES
Definición de espacio vectorial
Sea
un cuerpo. Diremos que un conjunto
dotado de una operación interna
y otra externa
sobre el cuerpo
tiene estructura de espacio vectorial si cumple las siguientes propiedades:
1.

es un grupo abeliano
2.

es una operación que va del productocartesiano
en el conjunto :

verificando las siguientes propiedades:
2.1.
Distributiva respecto de la suma de vectores:
2.2.
Distributiva respecto de la suma de escalares:

2.3.
Asociativa mixta:
2.4.
Producto por el elemento unidad del cuerpo:
Siguiendo esta definición de lo que es un espacio vectorial, a partir de las propiedades que todos sabemos de la suma y productode números reales (sabemos que
es un cuerpo, lo que implica, en particular, que
y
son grupos), se demuestra muy fácilmente que, por ejemplo, el espacio
de los vectores del plano con las operaciones de suma de vectores y producto de un escalar con un vector definidas como conocemos de cursos anteriores (esto es,
,
), se tiene que
es un espacio vectorial sobre
.
Sin embargo, siahora consideramos
estando definidas estas operaciones como sigue:
,
, se tiene que
no es un espacio vectorial sobre
, pues falla la propiedad de producto por el elemento de unidad del cuerpo, ya que

Definición de sub-espacio vectorial
Sean (V, +, K, *) un espacio vectorial y S un subconjunto de V.
S es subespacio vectorial de V si (S, +, K, *) es espacio vectorial en sí mismo, siendo+ y * las mismas operaciones definidas en V. Las bases de un subespacio son el subconjunto de "alfa" y "beta" en el menor subespacio formado por la recta que pasa por dos puntos.
El criterio para la verificación de que S sea subespacio de V, es que ambas operaciones ( la ley de composición interna (+) entre elementos del conjunto S y la ley de composición externa (*) con escalares del cuerpo K )sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S. Estas antes mencionadas se dan con la suma y la multiplicación para los vectores. Un espacio vectorial también llamado espacio muestral es el que denomina el falso y el verdadero. Para ello se definen 4 axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial, se defineS como subespacio vectorial si y solo si:
1. S no es un conjunto vacío.

2. S es igual o está incluido en V.

3. La suma es ley de composición interna.

4. El producto es ley de composición externa.

Si estas cuatro condiciones se cumplen entonces el conjunto es un subespacio
Propiedades de los SubespaciosVectoriales
(1) La intersección de subespacios vectoriales de E, si essubespacio vectorial de E
(E,+,•) es K-ev ∧ { Hi} i ∊ I una familia de S.E.V de E ⇒ ∩ H i es S.E.V de E </b>

->Demostración:
H1 = {(x, y, z) / x + y + z = 0 } ∧ H2 = { ( x, y, z ) / x - y + z = 0 } son S.E.V de R3
H1 ∩ H2 = { (x, y, z) / x + y + z = 0} = { (x, y, z) / x + z = 0 ∧ y = 0} = {(x, y, z) / x = - z ∧ y = 0}

->Caso particular:
(1, 0, -1) + (-2, 0, 2) = (-1, 0 , 1)∊ H 1 ∩ H2 es lci α (1, 0, -1) + β (-2, 0, 2) ∊ H 1 ∩ H2 ∀α, β ∊ K ⇒ La intersección es S.E.V

(2) La unión de subespacios vectoriales de E , no es subespacio vectorial de E
(E,+,•) es K-ev ∧ { Hi } i ∊ I una familia de S.E.V de E ⇒ ∪ Hi no es S.E.V de E. </b>
Demostración:
H1 = { (0,y) / y ∊ R } ∧ H2 = { ( x,0) / x∊R } son S.E.V de R2.
Si (0,1) ∊ H1 también ∊ H1 ∪ H2. Si H 1 ∪ H2fuera S.E.V la suma seria lci y no lo és. Si (1,0) ∊ H1 también ∊ H1 ∪ H2 (0,1) + (1,0) = (1,1) ∉ H1 ∪ H2.

(3) La suma de subespacios vectoriales (el conjunto suma) es subespacio vectorial de E
(E,+,•) es K-ev ∧ H, G dos S.E.V de E ⇒ H + G es S.E.V de E
->Demostración:
H + G = { v ∊ E / v = h + g tal que h ∊ H ∧ g ∊ G}. Queremos demostrar que H + G ∊ E
Sean:
h + g ∊ H+G;
h´+...
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