Ensayo De Matematicas

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la función
[pic][pic]
Esta función se escribe también como f(x) = expa x y se lee «exponencial en base a de x».
Antes de dar un ejemplo de función exponencial, conviene recordar algunas propiedades de las potencias:
[pic] [pic] [pic][pic]

Ejemplos de funciones exponenciales
1. La función y = 2x es una función exponencial de base 2. Algunos de los valores [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

[pic]
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Propiedades de la función exponencial y = ax
1a. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a0 = 1
2a. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a1 = a
3a. La función es positiva paracualquier valor de x: f(x )>0.
Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier potencia de base positiva da como resultado un número positivo.
4a . Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es creciente.
5a. Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la función es decreciente.
Representación gráfica de la función exponencial
[pic] [pic]
Observandolas propiedades antes descritas para una función exponencial, se han de distinguir dos casos para hacer la representación de una función y = ax :
A) a > 1
En este caso, para x = 0, y = a0 = 1
para x = 1, y = a1 = a
para cualquier x, la función es creciente y siempre positiva.
Como caso particular se representa la función y = 2x.
B) a < 1
Para x = 0, y = a0 = 1
Para x = 1, y = a1 = a
Para cualquierx la función es decreciente y siempre positiva.
[pic]

ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES.

Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente son ecuaciones exponenciales. No hay ninguna fórmula general que indique cómo resolver cualquier ecuación exponencial. Sólo la práctica ayuda a decidir, en cada caso, qué camino tomar.
Para resolver estas ecuaciones hay que tenerpresente algunos resultados y propiedades:
1. ax = ay Û x = y
Conviene, por tanto, siempre que sea posible, expresar los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma base.
[pic]
[pic]
[pic]
El uso de los logaritmos, como se verá más adelante, facilita en muchas ocasiones la resolución de estas ecuaciones.
Ejercicio: resolución de ecuaciones exponenciales
[pic]
Resolución:
[pic]
[pic]
·Basta ahora con resolver esta ecuación de segundo grado.
1 - x2 = -3 ® x2 = 4 ® x = ± 2
Resolver 4x+1 + 2x+3 = 320
Resolución:
En algunas ecuaciones es necesario hacer un cambio de variable para su resolución.
· Teniendo en cuenta las propiedades de las potencias, la ecuación puede escribirse:
4 · 4x + 23·2x = 320 ® 4 · 4x + 8·2x = 320
· Expresando 4x como potencia de dos,
4 · 22x + 8 · 2x = 320
·Se hace el cambio de variable 2x = y, (por tanto 22x = y2) y se obtiene:
4y2 + 8y = 320
· Basta ahora con resolver esta ecuación:
y2 + 2y - 80 = 0
[pic]
· Se deshace ahora el cambio y = 2x
y1 = -10 = 2x. No es posible encontrar un x que verifique esta condición (2x es
siempre positivo)
y2 = 8 = 2x ® x = 3
· La solución es, por tanto, x = 3
Resolver 5x + 5x+2 + 5x+4 = 651
Resolución:
· Aplicandolas propiedades de las potencias, la ecuación se puede escribir como
5x + 52 ·5x + 54 ·5x = 651
· Sacando factor común 5x:
5x (1 + 52 + 54) = 651
5x·651 = 651 ® 5x = 1 ® x = 0
Algunas ecuaciones exponenciales requieren, para su resolución, el empleo de logaritmos y por ello se tratarán junto con las ecuaciones logarítmicas.

Ejercicio: resolución de sistemas de ecuaciones exponenciales
[pic]Resolución:
·Se despeja x en la segunda ecuación:
x = 15 + y
· Se sustituye este valor de x en la primera ecuación:
215+y - 42y = 0 (Pero 4 = 22)
215+y - (22)2y = 0
215+y - 24y = 0 Þ 215+y = 24y Þ
Þ 15 + y = 4y Þ 3y = 15 Þ y = 5
· Se sustituye el valor de y = 5 en x = 15 + y:
x = 15 + 5 = 20
· Por tanto, y = 5 x = 20

LOGARITMOS
Dado un número real a positivo, no nulo y distinto de 1, (a > 0; a ¹ 0; a...