Ensayo

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C u r s o : Matemática Material N° 33
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 25 UNIDAD: GEOMETRÍA TRIGONOMETRÍA
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

En el triángulo ABC, rectángulo en C (figura 1), se definen las siguientes razones: B β fig. 1 a c Seno de α = Coseno de α = Tangente de α = sen α cos α tg α = = =
Cateto opuesto a α hipotenusa Cateto adyacente a α hipotenusa
a c b = c

=

Cateto opuesto a α Catetoadyacente a α Cateto adyacente a α Cateto opuesto a α Hipotenusa Cateto adyacente a α Hipotenusa Cateto opuesto a α

= = = =

a b b a c b

Cotangente de α = cotg α = α C b A Secante de α = sec α =

Cosecante de α = cosec α =

c a

EJEMPLOS

1.

De acuerdo al triángulo ABC de la figura 1, ¿qué relación es verdadera? A) sen β = B) C) D) E)
c b a sen β = c b cos β = c b tg β = aNinguna de ellas

B β
a c

fig. 1

C

b

A

2.

Con respecto al triángulo rectángulo ABC de la figura 2, ¿cuál de las opciones siguientes es verdadera? A) sec β =
c b a B) cos α = c b C) cotg β = a

B β
c a

fig. 2

c b E) sen β = cos α

D) cosec α =

α A
b

C

3.

Con los datos de la figura 3, la expresión tg α – sen α es igual a
ac − bc ab ac − bc B) bc bc − acC) ab bc − ac D) bc a − c E) b

A)

C fig. 3 a α A c

b

B

4.

Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 cm y 15 cm, entonces el seno del ángulo agudo mayor es A)
15 17 8 B) 17 8 C) 15 15 D) 8 17 E) 15

5.

En la hoja cuadriculada de la figura 4, cada cuadrado tiene lado 2. Entonces, en el ΔABC la tangente del ángulo β es igual a A) B) C)
1 5 1 2 2

A β fig. 4 C B5 D) 2 5 E)

6.

Si cos α = A)
17 8 17 B) 15 15 C) 8 15 D) 17 8 E) 15

8 , entonces cosec α = 17

2

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 30º, 45º y 60º

Considerando los triángulos de las figuras 1 y 2, se tiene que: C
Razón
30º

Ángulo

30º

45º

60º

3

2

sen α cos α

1 2

2 2 2 2

fig. 1
60º

3 2 3 3

3 2 1 2

A C
45º

1

B

tg α

13

2

fig. 2

1 45º

A

1

B

Ángulos de elevación y de depresión (fig. 3) son aquellos formados por la horizontal, considerada a nivel del ojo del observador y la línea de mira, según que el objeto observado esté por sobre o bajo esta última. Con respecto a un observador, los ángulos de elevación y de depresión constituyen ángulos alternos internos entre paralelas, por lo tanto,sus medidas son iguales

Horizontal
Ángulo de depresión

Observador

fig. 3
Línea de mira

Ángulo de elevación

Observador

Horizontal

EJEMPLOS

1.

Un avión despega del aeropuerto con un ángulo de elevación de 30º como se muestra en la figura 1. Si ha recorrido desde el punto de despegue una distancia de 1.000 metros, ¿a qué altura (h), respecto del suelo se encuentra? A) B)C) D) E) 500 3 metros 500 metros 1.000 metros 3 100 metros 3 1.500 metros 3 3

fig. 1
h
1.000 m

30º

2.

¿Cuál es la longitud de la sombra proyectada por un edificio de 50 m de altura (fig. 2) cuando el sol se ha elevado 40º sobre el horizonte? A) 50 · tg 40º m 50º B) m sen 40º 50º m C) tg 40º tg 40º D) 50º cotg 40º E) m 50º

fig. 2
40º

3.

¿Cuál es la longitud del hilo quesujeta el volantín de la figura 3, si el ángulo de elevación es de 45º?

A) B) C) D) E)

20 2 m 21,5 m 21,5 2 m 20 m 10 2 m

45º 1,5 m

21,5 m

fig. 3

4.

Un observador de 1,80 m observa la azotea de un edificio, según un ángulo de elevación de 60º (fig. 4). Si el punto de observación está a 12 m del edificio, ¿cuánto mide la altura del edificio? A) 24 m B) 12 3 m C) 8 3 m D) (4 3 +1,8) m E) (12 3 + 1,8) m
12 m

fig. 4

5.

La longitud de una escalera, cuyos extremos están apoyados a un poste y al suelo es de 4 3 metros. La escalera forma un ángulo con el poste de 30º. ¿A qué distancia está el pie de la escalera del poste?
2

A)

m 3 B) 4 m C) 6 m D) 2 3 m

E) 6 3 m 4

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

Las identidades 1, 2, 3, 4 y 5 se deducen...
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