Ensayo

1. un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas «afirmaciones evidentes», porque permiten deducir las demás fórmulas.
Los axiomas son ciertas fórmulas en un lenguaje que son universalmente válidas, esto es fórmulas satisfechas por cualquierestructura y por cualquier función variable. En términos coloquiales son enunciados verdaderos en cualquier mundo posible, bajo cualquier interpretación posible, con cualquier asignación de valores. Comúnmente se toma como axioma un conjunto mínimo de tautologías su ficientes para probar una teoría.

2. un postulado es una proposición no necesariamente evidente: una fórmula bien formada (planteada)de un lenguaje formal utilizada en una deducción para llegar a una conclusión.
Los postulados son fórmulas específicas de una teoría que se aceptan solamente por acuerdo. Razonando acerca de dos estructuras diferentes, por ejemplo los números naturales y los números enteros, pueden comprender los mismos axiomas. Sin embargo los postulados expresan lo que es esencial de una estructura, o unconjunto de éstas. A diferencia de los axiomas lógicos, los postulados no son tautologías.
Cualquier teoría matemática moderna se fundamenta en un conjunto de postulados. Aunque se pensaba que, en principio, toda teoría se podía axiomatizar y formulizar, posteriormente esto se demostró imposible.
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Euclides planteó cinco postulados en su sistema:
1. 1. Dados dos puntos se puede trazar una ysolo una recta que los une.
2. 2. Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido.
3. 3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.
4. 4. Todos los ángulos rectos son congruentes.
5. 5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a dos ángulos rectos, esas dos rectasprolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos (ver quinto postulado de Euclides).
Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como:
5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.
Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro, y muchos geómetras,incluido el propio Euclides, han intentado deducirlo de los anteriores. Cuando intentaron reducirlo al absurdo negándolo, surgieron dos nuevas geometrías: la elíptica, también llamada geometría de Riemann o riemanniana (dada una recta y un punto exterior a ella, no existe ninguna recta que pase por el punto y sea paralela a la recta dada) y la hiperbólica o de Lobachevsky (existen varias rectasparalelas que pasen por un punto exterior a una dada).

3.Euclides (en griego Ευκλείδης, Eukleides) fue
un matemático y geómetra griego(ca. 325 - ca. 265 a. C.). Se le conoce como "El Padre de la Geometría".
Su vida es poco conocida, salvo que vivió en Alejandría (actualmente Egipto) durante el reinado de Ptolomeo I. Ciertos autores árabes afirman que Euclides era hijode Naucrates y se barajan tres hipótesis:
1. Euclides fue un personaje matemático histórico que escribió Los elementos y otras obras atribuidas a él.
2. Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría. Todos ellos contribuyeron a escribir las obras completas de Euclides, incluso firmando los libros con el nombre de Euclides después de su muerte.
3. Lasobras completas de Euclides fueron escritas por un equipo de matemáticos de Alejandría quienes tomaron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de Megara, que había vivido unos cien años antes.
Proclo, el último de los grandes filósofos griegos, quien vivió alrededor del 450, escribió importantes comentarios sobre el libro I de los Elementos, dichos comentarios constituyen una valiosa...