Ensayo

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2°.ensayo..


[pic]





Integrantes:
Alejandro Guerra de la O
Gerardo Almaguer Jordán
José Luis Bernal Muñoz
Alberto Tovar Treviño
Julián Gámez Coronado


Métodos de Intervalos

hecho del cambio de signo de una función en inmediaciones de una raíz.
Los métodos de los intervalos utilizan una propiedad muy importante, consistente en el
Se llaman métodos de los intervalosporque se necesitan como mínimo dos valores que forman un intervalo que encierra la raíz.

 

[pic]

 

En la gráfica 2.1 se observa como la función cambia de +f(x) a - f(x), cuando pasa por la raíz c .Esto ocurre porque f (c)= 0 y necesariamente la función pasa del cuadrante positivo al negativo de x. En algunos casos , que se verán más adelante esto no ocurre así, por ahora seasumirá como se ha mostrado. Los métodos abiertos utilizan estos cambios de signo para poder ubicar el la raíz (punto c), pero es necesario entonce establecer un intervalo (como el [a,b]).

De igual manera sucede cuando la función pasa por el punto e, el cambio ocurre de -f(x) a + f(x), para hallar la raíz el método necesita un intervalo como el [d,f]



Métodos abiertos

El método deNewton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raízdepende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método lineal iza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en elorigen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente. f'(x)= 0 Sea f : [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n
[pic]
Donde f ' denota la derivada de f.
Nóteseque el método descrito es de aplicación exclusiva para funciones de una sola variable con forma analítica o implícita cognoscible. Existen variantes del método aplicables a sistemas discretos que permiten estimar las raíces de la tendencia, así como algoritmos que extienden el método de Newton a sistemas multivariables, sistemas de ecuaciones, etc.
Tres son las formas principales por las quetradicionalmente se ha obtenido el algoritmo de Newton-Raphson.
La primera de ellas es una simple interpretación geométrica. En efecto, atendiendo al desarrollo geométrico del método de la secante, podría pensarse en que si los puntos de iteración están lo suficientemente cerca (a una distancia infinitesimal), entonces la secante se sustituye por la tangente a la curva en el punto. Así pues, si por unpunto de iteración trazamos la tangente a la curva, por extensión con el método de la secante, el nuevo punto de iteración se tomará como la abscisa en el origen de la tangente (punto de corte de la tangente con el eje X). Esto es equivalente a linealizar la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto ([pic], [pic]([pic])) y cuya pendiente coincide con la derivada dela función en el punto, [pic]. La nueva aproximación a la raíz, [pic], se logra la intersección de la función lineal con el eje X de abscisas. Matemáticamente:
[pic]


Ilustración de una iteración del método de Newton (la función f se demuestra en azul y la línea de la tangente está en rojo). Vemos que [pic]es una aproximación mejor que [pic]para la raíz [pic]de la función [pic].
En...
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