ensayo

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INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

SEGUNDO SEMESTRE

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ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

4.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES

La palabra ecuación viene del latín, de aequatus , participio pasivo de aequare : "igualar, volver igual". Una ecuación es una afirmación de igualdad entre dos expresiones matemáticas. Resolver laecuación significa encontrar la o las condiciones requeridas o necesarias para que se
cumpla la igualdad propuesta.
Así, cuando se establece que 3x2 + 5x es igual a cero, en ese momento se ha creado una ecuación, pues hay una afirmación de igualdad entre dos expresiones, o sea 3x2 + 5x = 0 . Otra cosa
distinta es investigar qué se requiere para que realmente 3x2 + 5x sea igual a cero; cuando se
haceesa investigación se llega a que se requiere que la equis sea x = 0 , o bien x = -

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. Eso es
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resolver la ecuación anterior.
Una ecuación es una especie de "adivinanza numérica", o sea que se hace un planteamiento
cuya respuesta debe ser un número. Por ejemplo: "¿Qué número elevado al cuadrado es igual al
doble de ese número más veinticuatro?". Es una adivinanza cuya respuesta es elnúmero 6. La
diferencia entre cualquier adivinanza con las "adivinanzas numéricas", llamadas ecuaciones, es
que para responder las primeras "hay que atinarle a la respuesta", mientras que en las numéricas,
existen procedimientos que conducen certera e infaliblemente a la solución.
Así, en el caso anterior, se puede plantear que
x2 = 2x + 24
x2 - 2x - 24 = 0
(x - 6)(x + 4) = 0
de donde
x1 =6

;

x2 = - 4

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Entonces, una ecuación trigonométrica también va a ser una especie de "adivinanza numérica",
solamente que relacionada con una función trigonométrica. Por ejemplo: "El seno de un ángulo
más el coseno de ese mismo ángulo es igual a 1.328926. ¿Cuál es ese ángulo?". El alumno puede comprobar con sucalculadora que la respuesta es 25o; pero evidentemente que esa respuesta
no es posible encontrarla al tanteo. Debe existir un procedimiento matemático que lleve a la solución, el cual es el planteamiento de una ecuación trigonométrica:
sen x + cos x = 1.328926
Resolver ecuaciones como la anterior es el objetivo de este capítulo. Para su estudio conviene
clasificar las ecuaciones trigonométricas ymencionar el método de solución que les corresponda.

4.2

DESPEJE DIRECTO

Las ecuaciones trigonométricas más sencillas son las que se resuelven simplemente despejando
la función trigonométrica y luego aplicando la función inversa para despejar el argumento. El
argumento es el ángulo, que no necesariamente es x. Recordar que todas las funciones trigonométricas inversas tienen dos soluciones,según lo visto en las páginas 32 a 38 del capítulo 2.
Ejemplo 1:
solución:

cos 2x = 0.642787609
En este caso, la función trigonométrica ya está despejada. El ángulo, o sea el argumento es
2x. Entonces aplicando la función inversa para despejar el argumento, se obtiene:
cos 2x = 0.642787609
2x = arc cos 0.642787609
tiene dos soluciones que son (ver capítulo 2):

Primer cuadrante:
2x1= 50

x1 =

50
2

x1 = 25

Segundo cuadrante:
2x2 = 360 - 50

2x2 = 310

x2 =

310
2

x2 = 155

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¡Cuidado!: Al afirmar que existen dos soluciones en la ecuación trigonométrica, se refiere
a que el arco coseno de 0.642787609 es 50 grados y también 310 grados los cuales son
iguales al argumento 2x. No debe confundirseentonces entre que esos valores sean iguales
a x a que sean iguales al argumento, en este caso a 2x . La realidad es que esos valores deben ser iguales siempre al argumento.

Ejemplo 2:
solución:

5 + tan 6x = 3.267949192
El ángulo, o sea el argumento, en este caso es 6x. Despejando primero la función trigonométrica:
tan 6x = 3.267949192 - 5
tan 6x = - 1.732050808
Aplicando la...