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Transformaciones Lineales
Departamento de Matem´ticas, CCIR/ITESM a 16 de abril de 2009

´ Indice
21.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 21.2. Idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Transformaci´n Lineal . . . . . . . . . . . . . o 21.4. Geometr´ de las transformaciones lineales . . ıa 21.5. Linealidad en una condici´n . . . . . . . . . . o 21.6. Hechosque cumple una transormaci´n lineal o 21.7. Conceptos relativos a funciones . . . . . . . . 21.8. Im´genes de espacios generados . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 6 7 8 9 9

21.1.

Introducci´n o

En esta lectura se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los espacios vectoriales. Es decir, de funciones quepreservan la suma y la multiplicaci´n por escalares. o

21.2.

Idea

En los cursos b´sicos relativos a ecuaciones vimos que la soluci´n a la ecuaci´n a o o f (x) = 0 podr´ entenderse como los puntos donde la gr´fica de la funci´n f (x) corta el eje de las x’s: ıa a o

1

−1 −1 −2

1

2

esta forma de ver a una ecuaci´n permite entonces resolver ecuaciones de la forma: o f (x) = a en estecaso lo que se busca son los valores de x de aquellos puntos donde la gr´fica de la funci´n f (x) corta a o la l´ ınea horizontal y = a:

1

−1 −1 −2

1

2

Esta idea de corte de la gr´fica de f (x) con la recta y = a da pie a m´todos gr´ficos de soluci´n de ecuaciones a e a o y tambi´n permite obtener conclusiones cualitativas a ciertas ecuaciones. Por ejemplo, se deduce f´cilmente e a oque 3 sen(20 x) cos(x) = 1 tiene infinitas soluciones, mientras que 3 sen(20 x) cos(x) = 3.5 no tiene soluci´n: 3 2 1 −1 −1 −2 −3 1 2

En el caso anterior, 3 sen(20 x) cos(x) = 1 tiene soluci´n debido a que 1 est´ en el rango de la funci´n; mientras o a o que 3 sen(20 x) cos(x) = 3.5 no tiene soluci´n porque 3.5 no lo est´. El rango de la funci´n est´ marcado en el o a o a eje y como un segmentode l´ ınea magenta. En general, el siguiente resultado se tiene: Teorema La ecuaci´n o f (x) = a tiene soluci´n si y s´lo si a est´ en el rango de f (x). o o a Nosotros usaremos el concepto de la funci´n para darle un tratamiento a los sistemas de ecuaciones lineales. La o restricci´n que haremos ser´ sobre el tipo de funciones: s´lo estaremos interesados en funciones que preserven o a o lasoperaciones en el espacio vectorial. Este tipo de funciones ser´n llamadas funciones lineales. Primeramente a las definiremos, veremos algunas propiedades generales y despu´s veremos c´mo se aplican estos resultados a e o sistemas de ecuaciones.

21.3.

Transformaci´n Lineal o

Definici´n 21.1 o Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales. Una transformaci´n lineal o mapeo lineal o deV a W es una funci´n T : V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier o escalar c: T (u + v) = T (u) + T (v) T (c u) = c T (u)

2

Ejemplo 21.1 Demuestre que la tranformaci´n T : R2 →R2 definida por o T es lineal. Soluci´n o Sean u = Entonces T (u + v) = T x1 y1 yv= x2 y2 . x1 y1 + x2 y2 =T x1 + x2 y1 + y 2 x y = x + 3y x + 2y

=

(x1 + x2 ) + 3 (y1 + y2 ) (x1 + x2 ) + 2(y1 + y2 ) x1 + 3 y1 x1 + 2 y1 x1 y1 +T + x2 y2 c x1 c y1 c x1 + 3 c y1 c x1 + 2 c y1 x1 + 3 y1 x1 + 2y1 x1 y1 x2 + 3 y2 x2 + 2 y2 = T (u) + T (v)

=

= T Por otro lado, para todo escalar c,

T (c u) = T = = c = cT

= c T (u) Como se cumplen las dos condiciones: T (u + v) = T (u) + T (v) T (c u) = c T (u) T es lineal Ejemplo 21.2 Demuestre que la transformaci´n T : R3 →R2 es lineal: o T...
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