Eonomia

2004

Unión Matemática Argentina

UMA

E5

LIV

REUNIÓN DE COMUNICACIONES CIENTÍFICAS

XXVII

REUNIÓN DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA

XVI

ENCUENTRO DE ESTUDIANTES

Optimización Dinámica

PROF. OSCAR BARRAZA

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL
COMAHUE
Neuquén
11 AL 15 DE OCTUBRE

REUNIÓN ANUAL
UNIÓN MATEMÁTICA ARGENTINA
NEUQUEN – OCTUBRE DE 2004

CURSO

OPTIMIZACIÓN DINÁMICAOscar A. Barraza
Departamento de Matemática
Universidad Nacional de La Plata
c.c. 172 - (1900) La Plata, ARGENTINA

e-mail: oscar@mate.unlp.edu.ar

Objetivo
Estas notas constituyen una introducción a la Optimización dinámica, cuyos campos de
aplicación no se circunscriben solamente a ciertas ramas de la Matemática, como el
Análisis matemático, la Geometría o los Sistemas dinámicos,entre otras, sino que abordan
otras áreas del conocimiento, como por ejemplo la Ingeniería, la Física, la Economía, la
Biología, etc.
De manera similar a la búsqueda de máximos y mínimos de una función que modeliza
matemáticamente cierto problema, la finalidad de la Optimización dinámica radica en
determinar la existencia, y eventualmente el cálculo, de los valores de ciertas variables,llamadas variables de estado, consideradas como funciones de otras variables (por ejemplo,
el tiempo y/o variables llamadas variables de control), que producen valores óptimos
(máximos o mínimos, según sea el caso) de cierta cantidad de estudio llamada funcional
objetivo durante cierto intervalo temporal. Brevemente, un funcional real es una función a
valores reales que tiene por argumento afunciones de variable(s) real(es). A modo de
ejemplo podemos mencionar como funcionales la longitud de arco de curva, el área del
gráfico de una función de dos variables reales, la energía de un sistema físico, las
coordenadas del centro de gravedad de una curva o superficie, etc.
En el caso en que el tiempo considerado sea una variable continua, se tratará de un
problema de Control óptimo; en cambiocuando el tiempo sea una variable discreta (la
información está dada en ciertos instantes), se tratará de un problema de Programación
dinámica. En estas notas nos dedicaremos a desarrollar problemas de optimización
dinámica en tiempo continuo.

Temas a desarrollar
Clase 1: Introducción a la Optimización dinámica. Breve presentación histórica.
Situaciones típicas del cálculo de variacionesy del control óptimo.
Nociones de funcional, función factible, extremo débil y extremo fuerte.
Cálculo de variaciones. Condiciones necesarias de primer orden: ecuación de Euler. Curvas
extremales. Condiciones necesarias de segundo orden: condición de Legendre.

Clase 2: Cálculo de variaciones. Condiciones suficientes basadas en concavidad convexidad. Condiciones de transversalidad. Ejemplos.Aplicaciones económicas.

Clase 3: Control óptimo. Variables de estado, de control y de coestado. Regiones
factibles. Condiciones necesarias de primer orden: principio del máximo de Pontryagin.
Condiciones suficientes de segundo orden: condiciones de Mangasarian y de Arrow.
Comentarios finales: extensiones de la teoría.

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Clase 1
Temario: Introducción a la Optimización dinámica. Brevepresentación histórica.
Situaciones típicas del cálculo de variaciones y del control óptimo.
Nociones de funcional, función factible, extremo débil y extremo fuerte.
Cálculo de variaciones. Condiciones necesarias de primer orden: ecuación de Euler. Curvas
extremales. Condiciones necesarias de segundo orden: condición de Legendre.
La Optimización dinámica estudia la optimización de ciertasmagnitudes, llamadas
variables de estado, de sistemas que evolucionan con el tiempo, esto es, sistemas
dinámicos. Se trata de guiar o controlar a dicho sistema mediante el manejo de otras
magnitudes llamadas variables de control durante el período de tiempo dado.
Consideremos, por ejemplo, nuestro propio cuerpo como un sistema dinámico el cual
nuestro médico examina tomándonos la presión...