eqdiferenciales ordinarias

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

1.

2.

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INTERROGANTES CENTRALES DEL CAPITULO
• Tipo y orden de una ecuaci´on diferencial

• Ecuaciones de primer orden exactas

• Soluci´on de una ecuaci´on diferencial

• Ecuaciones lineales de segundo orden

• Ecuaciones de primer orden separables

• M´etodo de los coeficientes indeterminados

• Ecuaciones de primer orden homog´eneas• M´etodo de variaci´on de par´ametros

• Ecuaciones de primer orden lineales

• Ecuaciones lineales de orden superior

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CONTENIDOS FUNDAMENTALES DEL CAPITULO

2.1. Definiciones y conceptos b´asicos
Una ecuaci´on diferencial es una ecuaci´on en la que interviene una funci´on inc´ognita y una o varias de sus derivadas. Este tipo de ecuaciones aparece en el estudio de numerososfen´omenos f´ısicos y qu´ımicos: desintegraci´on
radiactiva, crecimiento de poblaciones, reacciones qu´ımicas, problemas gravitatorios, etc. No es exagerado afirmar que la naturaleza se describe por medio de ecuaciones diferenciales, de modo que un conocimiento de esta
u´ ltima materia nos ayudar´a a entender mejor los fen´omenos naturales.
Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar,b´asicamente, atendiendo a dos criterios:
(1) TIPO: Si la funci´on inc´ognita contiene una u´ nica variable independiente, entonces la ecuaci´on se denomina
ecuaci´on diferencial ordinaria, abreviadamente E.D.O. En otro caso, cuando la funci´on inc´ognita contiene
dos o m´as variables independientes, la ecuaci´on se dice que es una ecuaci´on diferencial en derivadas
parciales.
(2) ORDEN: Es la derivadade orden m´as alto que aparece en la ecuaci´on diferencial.
Es innecesario decir que el estudio de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales requiere unas t´ecnicas
matem´aticas que est´an fuera del alcance del alumno, por lo que nos restringiremos al an´alisis de las ecuaciones
diferenciales ordinarias.
Consideremos una ecuaci´on diferencial ordinaria
F (x, y, y , y , . . .) = 0.´
MATEM ATICAS

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Diremos que una funci´on y = f (x) es una soluci´on de la ecuaci´on diferencial si la ecuaci´on se satisface al sustituir
en ella y y sus derivadas por f (x) y sus derivadas respectivas.
La soluci´on general de una ecuaci´on diferencial ordinaria es una funci´on y = f (x, c1 , c2 , . . .) dependiente de
una o varias constantes tal que cualquier soluci´on de laecuaci´on diferencial se obtiene dando valores espec´ıficos
a una o m´as de las constantes. Cuando damos valores concretos a todas las constantes de la soluci´on general,
surge una soluci´on particular. Geom´etricamente, la soluci´on general de una ecuaci´on diferencial de primer
orden representa una familia de curvas, denominadas curvas soluci´on, una para cada valor concreto asignado a la
constantearbitraria.
En la pr´actica, la determinaci´on de las constantes que aparecen en la soluci´on general se realiza a partir de las
condiciones iniciales del problema. Las condiciones iniciales del problema son los valores que adquiere la funci´on
soluci´on o sus derivadas en determinados puntos. Por ejemplo, para una ecuaci´on diferencial de primer orden
y = F (x, y),
una condici´on inicial seexpresar´ıa en la forma
y(x0 ) = y0 .
En consecuencia, y = f (x) es soluci´on si f (x) = F (x, f (x)) para todo valor de x en cierto intervalo, y f (x0 ) =
y0 .

2.2. Ecuaciones diferenciales de primer orden
Una ecuaci´on diferencial ordinaria de primer orden es una ecuaci´on de la forma
y = F (x, y),
donde F es una funci´on que depende de las variables x e y. Esta clase de ecuacionesdiferenciales son de las
m´as sencillas, y su resoluci´on se puede realizar utilizando diversas t´ecnicas. Describimos a continuaci´on las m´as
importantes.

2.2.1. Ecuaciones separables
Una ecuaci´on diferencial de primer orden se dice que es separable si puede escribirse en la forma
M (x) + N (y)

dy
= 0,
dx

donde M (x) es una funci´on continua que s´olo depende de x y N (y) es una...