Equilibrio de nash

Solo disponible en BuenasTareas
  • Páginas : 23 (5672 palabras )
  • Descarga(s) : 0
  • Publicado : 14 de octubre de 2010
Leer documento completo
Vista previa del texto
Equilibrio de Nash
Historia
El concepto de equilibrio de Nash comienza su desarrollo con Antoine Augustin Cournot, y su trabajo sobre oligopolios (1838). En éste se plantea el modelo de varias empresas compitiendo por el mercado de un mismo bien y que pueden elegir cuánto producir para intentar maximizar su ganancia. Cournot encuentra comportamientos de equilibrio para el juego, que coincidencon los equilibrios de Nash en estrategias puras.
Los equilibrios de Nash en estrategias puras son limitados en muchos aspectos y fue con el desarrollo de la teoría moderna de juegos que surgen los equilibrios en estrategias mixtas (aquellas donde los jugadores pueden elegir aleatoriamente entre varias estrategias). El concepto de equilibrio para este tipo de estrategias fue introducido por Johnvon Neumann y Oskar Morgenstern en su libro The Theory of Games and Economic Behavior (1944), aunque sólo trataron los equilibrios para el caso especial de juegos de suma cero.
Fue John Forbes Nash quien en su tesis de doctorado (1951) define los equilibrios que hoy llevan su nombre, tratando de manera general las estrategias mixtas y demostrando que cualquier juego con un número finito deestrategias tiene al menos un equilibrio de Nash en estrategias mixtas. Nash ganaría posteriormente un premio Nobel por la amplia gama de aplicaciones que tuvo éste concepto en diversas ramas de las ciencias.
Posteriormente se encontraron algunos casos en los que los equilibrios de Nash no llevaba a predicciones totalmente adecuadas para los comportamientos de los jugadores, o que existíancomportamientos estables que no se podían encontrar como equilibrios de Nash, lo que dio paso a la búsqueda y desarrollo de nuevos equilibrios (muchas veces como refinamientos de los equilibrios de Nash) y conceptos de solución de un juego.
Definiciones formales
Un juego rectangular se define como una terna (N,Dj,φj), donde N es el conjunto de jugadores, Dj es el conjunto de estrategias para cada jugador jy

son las llamadas funciones de pago, que a cada conjunto de estrategias (una para cada jugador) le asocia un respectivo pago al jugador j.
Denotaremos
Por otro lado dado un juego rectangular (N,Dj,φj), decimos que es una estrategia mixta del jugador j, si para toda , y . El entero lj denota el número de estrategias puras del jugador j.
Intuitivamente, una estrategia mixta es un vector queasocia cierta probabilidad a cada estrategia pura del jugador j, de ahí que cada entrada tenga que ser no negativa y la suma de todas ellas sea 1.
En una estrategia mixta Xj del jugador j, se interpreta como el peso o probabilidad que el jugador j le asocia a su estrategia pura σj.
La letra Mj denotará al conjunto de estrategias mixtas del jugador j y M al producto cartesiano de los conjuntosMj. A cada elemento de M lo llamaremos un perfil de estrategias mixtas.
Equilibrios en estrategias puras
Dado un juego rectangular (N,Dj,φj), se dice que es un equilibrio de Nash en estrategias puras (ep) si para cada jugador en N se cumple:

y donde representa el pago para el jugador j cuando éste decide cambiar su estrategia por cualquier otra , mientras que los demás jugadores mantienen laestrategia dada por el perfil σ.
Equilibrios en estrategias mixtas
Decimos que un perfil de estrategias mixtas X es un equilibrio de Nash en estrategias mixtas (em) si para cada jugador j∈N se cumple:

Donde Ej(X) es el pago esperado (o pago promedio) que obtendrá el jugador j al jugarse siempre el perfil de estrategias mixtas X.
Intuitivamente, un perfil de estrategias mixtas es equilibrio deNash si, en promedio, ningún jugador puede mejorar su pago cambiando sus estrategias mixtas cuando el resto de los jugadores se mantenga con la estrategia actual.
Equilibrios de Nash para juegos extensivos
A menudo no es posible modelar un problema de la teoría de juegos a través de un juego rectangular y se hace necesario modelarlo como un juego extensivo. En estos casos pueden buscarse los...
tracking img