Equilibrio tráfico y asignación óptima

EQUILIBRIO DE TRÁFICO Y ASIGNACIÓN ÓPTIMA DEL SISTEMA
1. EQUILIBRIO DE TRÁFICO CON DEMANDA FIJA
Es un modelo descriptivo que explica como los usuarios eligen espontáneamente sus rutas al viajar.
FORMULACIÓN MATEMÁTICA
Sea G(N, A) una red en la que N representa el conjunto de nodos, con cardinalidad n y A, representa el conjunto de arcos de la red, con cardinalidad m.
El problema tienemúltiple clases de usuarios, representados por el conjunto K, donde k es el elemento genérico de dicho conjunto. A continuación definiremos los otros elementos presente en el modelo de E quilibrio de Tráfico.
W: Es el conjunto de todos los pares O/D (orígenes- destino). Un elemento genérico de este conjunto se representa por w.
P: Es el conjunto de todos los rutas de la red. Un elemento genérico deeste conjunto se representa por p.
H: Es el vector de flujos factibles ruta-categoría. El elemento representativo es.
F: Es el vector de flujos factibles arco-categoría. El elemento representativo es.
C: Es el vector de funciones de costos asociados a una ruta-categoría. El elemento representativo es :
C: Es el vector de funciones de costos asociados a una arco-categoría. El elementorepresentativo es .
: Conjunto de todas las rutas que unen el par representado por w.
Son los viajes fijos entre el par w, por los usuarios tipo k.

A continuación se describe los principios de Wardrop y de Smith, los cuales explican a
través de modelos el comportamiento espontáneo de los usuarios en la elección de rutas

PRINCIPIO DE WARDROP
Hipótesis:
Los usuarios son racionales por lo tanto alelegir sus rutas, eligen la que minimiza sus costos.
Los usuarios poseen información perfecta de la red.
Si el destino del viaje, tiene un beneficio adicional (des-utilidad) para el usuario se considere como exógeno a la red, por lo tanto no condiciona las elecciones de los viajes.

Formulación matemática
ec(1)

Donde * denota estado de equilibrio y representa el costopercibido por los usuarios k sobre todas las rutas que unen el par w y tienen flujo mayor que cero.

Las condiciones anteriores son equivalentes a la siguiente desigualdad variacional:
ec(2)
Donde:
Conjunto convexo de los vectores no negativos de dimensión |P|*|K| cuyos elementos cumplen las condiciones de conservación de flujo de la red.
*: Denota estado de equilibrio.

Ademáses inmediato que la siguiente desigualdad variacional es equivalente a la anterior
ec(3)
Donde:
Conjunto convexo de dimensión |K|*m cuyos elementos satisfacen:



PRINCIPIO DE SMITH
Los usuarios de una red solo cambiaran sus rutas, si el costo total de operación sobre la red (calculados en base a los costos observados antes del cambio) disminuye.
Podemos relacionar este principiodirectamente con la desigualdad variacional de la ec(2).
A continuación evaluaremos la existencia y unicidad de solución en la de la desigualdad variacional (ec(3)).
EXISTENCIA DE UNA SOLUCIÓN
Existe una solución si:
1. Si las funciones de costos son continuas en una región factible.
2. El conjunto de flujos factibles es un conjunto convexo y compacto (acotado y cerrado.)
La primera secumple por la formulación del problema y la segunda se cumple porque las restricciones del problema son lineales y con los arcos son un número fijo.
UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN
Si el jacobiano es positivo definido es condición suficiente para que la solución sea única. Esto implica que si el jacobiano no es positivo definido, las soluciones podrían ser múltiples o única, no se sabe.
Además esimportante mencionar que si analizamos el problema en función de las rutas la solución no necesariamente es única porque todos los elemento de la matriz, son siempre mayor igual a 0. La mayoría de las veces existe más de una solución en términos de las rutas.

CONSIDERACIONES GENERALES
Hasta ahora nada se ha especificado de las funciones de costos, por lo que tenemos un problema generalizado que...