Escher

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MOSAICOS
Los mosaicos, al igual que los frisos, se pueden generar a partir de un motivo mínimo mediante la combinación de diferentes movimientos. No vamos a a realizar ese estudio porque es complicado para este curso (hay 17 tipos diferentes de mosaicos), pero sí veremos algunas formas de dibujarlos. 
Comenzaremos, en particular, considerando un motivo mínimo inscrito en un cuadrado.
DIBUJO DEMOSAICOS A PARTIR DE DIBUJOS INSCRITOS EN UN CUADRADO
En los ejemplos siguientes hemos pretendido que las regiones del dibujo estén acotadas.
Generación de mosaicos mediante traslaciones:
Para que queden regiones acotadas, si el dibujo toca en un lugar de un lado, también ha de tocar en el mismo lugar del lado opuesto. Debe de tocar la figura en los cuatro lados.
 
(ver animación)
 
 
 
 
Generaciónpor simetrías
Para generar mosaicos con regiones acotadas, mediante simetrías, sólo es necesario que la figura toque los cuatro lados del cuadrado. Una vez realizadas las dos primeras simetrías, da igual continuar por simetrías o por traslaciones.
 
 
(ver animación)
 
 
 
Generación por giros:
Realizamos un dibujo inscrito en el cuadrado.
Los puntos de corte con los lados deben ser simétricosrespecto del alguno de los ejes diagonales del cuadrado.
Entonces el mosaico que se genera mediante giros determinará regiones cerradas:
Se gira, con ángulos de 90º, 180º y 270º, y centro en O. A continuación se traslada o se vuelve a girar el cuadrado resultante:
 
 
(ver animación)
 
 
 
 
 
 
 
 
(ver animación)
 
 
 
 
 
 
Veamos ahora cómo un mismo motivo determina diferentes mosaicos:

 (veranimación)
Observaciones:
* Si el motivo tiene dos simetrías oblicuas, entonces el mosaico generado mediante giros coincide con el generado mediante simetrías:

(ver animación)
Actividades
1. ¿Cómo habrá de ser el motivo para que:
* el mosaico por traslaciones coincida con el de giros
* el mosaico por traslaciones coincida con el de simetrías
* los tres mosaicos seaniguales?
(ver solución)
2. Inventa, sobre un mismo motivo mínimo inscrito en un triángulo equilátero, diferentes mosaicos.
DIBUJO DE MOSAICOS MEDIANTE TÉCNICAS DE ESCHER
El famoso artista holandés M. C. Escher dibujó sorprendentes figuras que encajaban entre sí formando bellos mosaicos. Llega a parecer realmente arte de magia cómo lagartos, caballeros o pájaros solapan a la perfección cubriendoarmoniosamente el plano. A continuación vamos a estudiar en parte estos métodos que,  modificando los lados de algunos polígonos y aplicando movimientos, nos permiten obtener variados mosaicos.
A) Por traslaciones.
Sobre un paralelogramo o un hexágono, se modifica (o "recorta") un lado y se traslada la modificación (o se añade lo recortado) hacia el lado opuesto: 

El siguiente ejemplo es debido aEscher:

B) Mediante giros de 180º con el centro en el punto medio de un lado de un cuadrilátero, triángulo o hexágono.

OBSERVACIÓN: No es necesario hacer el mismo recorte en todos los lados. Pulsa sobre la figura y lo comprobarás:

1. Inventa otro ejemplo sobre un cuadrado.
C) Mediante giros  de 60º, 90º o 120º desde un vértice en algunos polígonos. Los vértices desde los que se gira no pueden sercontiguos.

Si pulsas sobre Bilma verás otro ejemplo animado:

Este bonito ejemplo se debe a Escher:

D) También se pueden utilizar técnicas mixtas.
Utilizamos primero la técnica C al modificar un lado del triángulo y girar 60º desde un vértice. En el otro lado que queda sin modificar utilizamos la técnica B:

Hay otras técnicas. Abajo mostramos una más complicada que lasanteriores,  empleando deslizamientos,  de la que vemos un par de ejemplos con la única intención de que los admiréis. Están basados en dibujos de Escher:

Observaciones sobre las técnicas estudiadas
 
* Un mismo mosaico puede ser generado mediante técnicas diferentes. Aquí tenemos tres formas distintas de obtener el famoso "avión", presente como la pajarita y el hueso en los azulejos de la Alhambra. En el primer...
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