Esctructuras

Método general de flexibilidad Aplicación a celosías planas

Punto de partida


Energía complementaria. Propiedades uniformes:

U b*

N2 L 2E A
U b*
b

T LN

L EA

TL

U*



Teorema de Crotti- Engesser:

i

U* Pi

i

1, n



2º Teorema de Engesser

U* Nj

0

Nj

1

Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas

1. Fase previa


1. Clasificar la celosía: hiperestática  b+r > 2n h=(b+r)-2n 2. Elegir h incógnitas hiperestáticas Xj Pueden ser:  Reacciones exteriores Xj = Ri  Esfuerzos interiores en las barras Xj =Ni
 

Punto crítico. Heurístico. No hay un método universal No dependen del sistema de cargas exteriores

2

Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas

1. Fase previa. Ejemplo
 1. Hallar h b=10 r=4 n=6 h=(10+4)-2*6=2 2. Elegir 2 incógnitas hiperestáticas X1 =RBY X2 =NBF
 
D

Vale cualquier esfuerzo de EFCB. Valen las reacciones verticales. No valen NDE NDA
E F

P

D

E

F

P

A

B

L

C

A

B

C

L
L=400 cm

L
P=10000 kg A=10 cm2
Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas

Todas las barras igual E A

E=2 106kg/cm2
3

2. Superposición de 1+ h casos isostáticos




1. Eliminar las h incógnitas hiperestáticas:  si Xj están bien elegidas se obtiene una celosía isostática y estable 2. Superposición de 1+h casos, todos ellos isostáticos D E 0 P F P  Caso 0: sólo las fuerzas exteriores
2 /√ -P
0

P/ √2



Esfuerzos N0
A

0 B

0

P/2

0
P/2

C



Casos 1 a h: sólo valorunidad de la incógnita Xj


Esfuerzos Nj

D

0

E

0

F

2 /√ -1

-1

0

/√ 2

Esfuerzo real

Ni

N i0
j 1,h

X j N ij
A

1 B 1

0

1/2

0
1/2

C

4

Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas

Ejemplo. Esfuerzos en los 1+h casos isostáticos




Siempre es posible: son isostáticos.  Si no se puede: la incógnita X está malelegida Puede ser celosía simple, compuesta o compleja
D 0 E P F P

2 /√ -P

0
A

0

0 B

0

Ni

N i0
j 1,h

X j N ij

P/ √2

P/2

0
P/2

C

D

0

E

0

F

D

0

E

-1/√2

F 1

2 /√ -1

-1/√2

1

0

A

1/2

B 1

1/2

C

A

0

B

-1/√2

5

Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas

-1/√2
C

-1

0/√ 2

1

0

2

1

0

0

1

3. Condiciones de compatibilidad. Planteamiento
Xj es una reacción en un punto fijo:
U* Xi U* Ri
i

0

Xj es un esfuerzo interior:

U* Xj U* Xj

U* Nj

0

Siempre es del tipo:

0

j

1, h

Nota: se estudiará más adelante el caso de que haya una deformación conocida en la dirección de la reacción
6 Método general de flexibilidadaplicado a celosías planas

3. Condiciones de compatibilidad. Desarrollo (I)
U
* i

N i2 2

i i

Ni

Ni

N i0
j 1,h

X j N ij

h ecuaciones de compatibilidad

U* Xj Ni Xj Ni Xj

0

j

1, h

U Xj

* i i

Ni

i i

0

Ni Xj
No es útil así.

N ij

N iN ij i
i
7

N ij i
i

0

Sustituyendo Ni

Método general de flexibilidad aplicado a celosíasplanas

3. Condiciones de compatibilidad. Desarrollo (II)
i i

N i0
k 1,h

Xk N ik N ij
i

N ij i

0

j

1, h

Reordenando S

Xk
k 1,h i

N ij N ik i
i

N i0N ij i
i

N ij i

j

1, h

Xk fjk
k 1,h

Dj

j

1, h

Sistema de h ecuaciones con h incógnitas Xj
8 Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas

3. Condiciones de compatibilidad.Aplicación
Xk fjk
k

Dj

j fjk

1, h

f X
N ij N ik i
i

D

Coeficiente de flexibilidad cruzado entre Xj y Xk Término de carga para Xj

Dj
i

N i0N ij i
i

N ij i



Matriz de coeficientes de flexibilidad f  (h x h) simétrica  Definida positiva si las Xj están bien elegidas (linealmente independientes)
9 Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas...