Esfera

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Área y volumen [editar]

El área o superficie de una esfera de radio r, es:

El volumen de una esfera de radio r, es:

Ecuación cartesiana [editar]

En un sistema de coordenadas cartesianasen un espacio euclídeo tridimensional, la ecuación de la esfera unitaria (de radio 1), con centro en el origen, es:

Esta ecuación se obtiene considerando que en el punto M (x, y, z) de la esfera, elvector normal OM es igual a 1.
Generalizando, la esfera de radio r, de centro Ω (a, b, c) tiene como ecuación:

La ecuación del plano tangente en el punto M (x', y', z') se obtiene mediante eldesdoblamiento de las variables: en el caso de la esfera unitaria:

y en el segundo ejemplo:

Secciones [editar]

Sección de una esfera por un plano.
La intersección de un plano y una esferasiempre es un círculo. La esfera es el único volumen que tiene esta propiedad. Lógicamente, si el plano es tangente, el área de contacto queda reducido a un punto (puede considerarse el caso límite de laintersección).
Si el plano pasa por el centro de la esfera, el radio del círculo es el mismo que el de la esfera, r. En este caso, la circunferencia puede llamarse ecuador o círculo máximo.
Si ladistancia d, entre el plano y el centro, es inferior al radio r de la esfera, aplicando el teorema de Pitágoras, el radio de la sección es:

Intersección de esferas.
Por otra parte, dos esferas seintersectan si:

y

(son las desigualdades triangulares, y equivalen a que ningún lado es superior a la suma de los otros dos), es decir, si existe un triángulo con lados que midan r, r' y d, donde des la distancia entre los centros de las esferas, r y r' sus radios.
En tal caso, la intersección es también una circunferencia. Cuando una de las desigualdades anteriores es una igualdad, laintersección será un punto, que equivale a una circunferencia de radio cero.
En general, el radio es:
el medio perímetro.
Coordenadas sobre la esfera [editar]

Para localizar un punto de la...
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