Esferas musicales

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La música de las esferas: de Pitágoras a Xenakis... y más acá
Apuntes para el coloquio del Departamento de Matemática

Federico Miyara Resumen
Música y matemática suelen ser consideradas disciplinas muy diferentes. Una apela al sentimiento espontáneo, a la expresión pura, privada inclusive de significado abstracto, a la belleza; la otra al razonamiento, al rigor lógico, a la abstracciónextrema. Sin embargo, en todas las épocas se han sospechado, buscado, rechazado o confirmado profundas conexiones entre una y otra. Algunas veces las conexiones se han utilizado como andamios normativos, otras como la chispa que inflama la inspiración estética. Intentaremos un fugaz recorrido sobre esta multifacética cuestión desde Pitágoras hasta nuestros días.

1. Filosofías musicales antiguas Lapalabra música tenía un significado más amplio en la antigua Grecia que en la actualidad. En la mitología, las Musas eran nueve diosas hermanas protectoras de las artes y las ciencias: Clío, Euterpe, Talía, Melpómene, Terpsícore, Erato, Polimnia, Urania y Calíope. Euterpe era la protectora de lo que hoy llamamos música; Urania, de la astronomía. Las otras musas protegían diversas formas de poesía ydanza. La música era inseparable de la poesía y, como veremos, también de la astronomía. Las enseñanzas de Pitágoras (ca.570-497AC) incluían la aritmética y la música en forma conjunta. La aritmética permitía la comprensión del universo físico y espiritual, en tanto que la música era un ejemplo de la armonía universal.1 Recíprocamente, Arquitas (428-347AC)2 describía la matemática como integradapor el estudio de la astronomía, la geometría, la aritmética y la música. Su contemporáneo Platón (427-347AC), en su República hace una subdivisión parecida. Más adelante estas cuatro ramas pasarán a conocerse como el quadrivium.3 La escuela de Pitágoras se interesó principalmente en la canónica o ciencia de los intervalos musicales, es decir, las relaciones entre pares de sonidos. En laactualidad se sabe que dichas relaciones pueden ser caracterizadas mediante el cociente entre sus frecuencias. En aquella época las relaciones entre los sonidos se estudiaban mediante el monocordio, instrumento formado por una sola cuerda, para lo cual se procedía a subdividir la cuerda en un número pequeño de partes iguales. En la terminología actual, si una cuerda tiene un modo fundamental de vibracióncon frecuencia f, al dividirla en n partes la frecuencia pasará a ser nf. El descubrimiento crucial de Pitágoras fue que la subdivisión de la cuerda en partes cuyas longitudes estaban en proporción (n + 1):n (es decir, en relación superparticular) y n:1, con n número natural pequeño daba origen a sonidos armoniosos o consonantes entre sí. Esto dio gran impulso a la idea de que el número gobernabael universo. En la tabla 1 se muestran las relaciones de frecuencias de las diversas consonancias con su nombre actual.4
1 2 3 4

Grout, D. “A History of Western Music”. W.W. Norton & Company - Inc. New York, 1960. Según Aristóteles, en su Política, Arquitas fue el inventor del sonajero, juguete para apaciguar a los niños. Hundt, F. “Origins in Acoustics”, Acoustical Society of America.Woodbury, 1978. Los nombres surgen de la cantidad de notas comprendidas entre los extremos del intervalo. 1

Tabla 1. Relaciones de frecuencia entre los sonidos de las diversas consonancias Intervalo Unísono 8
va

5
3

ta

4
4

ta

3 mayor 3 menor 6 mayor 6 menor
5

ra

ra

ta

ta

f2 / f1

1

2

/2

/3

/4

6

/5

5

/3

8

/5

Durante muchos siglosestas relaciones no pasaron de ser una evidencia empírica. Diversas teorías intentaron explicarlo en formas que oscilaban entre lo ingenuo y lo absurdo, incluyendo intentos por parte de científicos de la talla de Euler. Recién a mediados del siglo XIX Helmholtz (1821-1894) logra una explicación satisfactoria,5 reforzada ya en el siglo XX por los experimentos de Plomp.6 Según Helmholtz dos sonidos...
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