Esfuerzo en vigas

Esfuerzos en vigas

Introducción:

En esta monografía estudiaremos y deduciremos las relaciones entre el momento flexionante y los esfuerzos normales por flexión que se producen y entre la fuerza cortante vertical y los esfuerzos cortantes. Para obtener estas relaciones se hacen las hipótesis siguientes:

1- Las secciones planas de la viga, inicialmente planas, permanecen planas.2- El material es homogéneo y obedece a la ley de Hooke.

3- El módulo elástico es igual a tensión que a compresión

4- La viga es inicialmente recta y de sección constante

5- 5- El plano en el que actúan las fuerzas contiene a uno de los ejes principales de la sección recta de la viga y las cargas actúan perpendicularmente al eje longitudinal de aquellas.

En las secciones quesiguen se examinan las aplicaciones y limitaciones de estas hipótesis y se ponen de manifiesto los motivos de haberlas tenido en cuenta.

1- Deducción de la fórmula de la flexión

Los esfuerzos normales producidos por el momento flexionante se llaman esfuerzos por flexión y las relaciones entre estos esfuerzos y el momento flexionante se expresan mediante la fórmula de la flexión. Para sudeducción se sigue el mismo procedimiento que se desarrolló para deducir la fórmula de la torsión, es decir, las deformaciones elásticas junto con la ley de Hooke determinan la forma de la distribución de esfuerzos y mediante condiciones de equilibrio se establece la relación entre los esfuerzos y las cargas.

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La figura a muestra dos secciones adyacentes ab y cd separadas unadistancia dx. Deetrminando la flexión producida por la carga P, las secciones ab y cd giran una con respecto a la otra en un pequeño ángulo, como se ve en la figura b pero permanecen planas y sin distorsión de acuerdo con la hipótesis 1 de la sección anterior.

La fibra ac de la parte superior se acorta y la fibra bd se alarga. En algún punto entre ellas existe una fibra, tal como ef, cuya longitud novaría. Trazando la línea c’d’ por f, paralela a ab, se observa que la fibra ac se ha acortado una longitud cc’ y está,pues,comprimida mientras que la fibra bd se ha alargado la longitudd’d y está sometida a tensión.

Consideremos la deformacón de una fibra cualquiera gh situada a una distancia de la superficie neutra. Su alargamiento hk es el arco de circunferencia de radio y ángulo y viene dadopor:

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El esfuerzo en cualquier fibra es directamente proporcional a la distancia y a la superficie neutra, ya que se ha supuesto que el módulo elástico es igual a tensión que a compresión, y el radio de curvatura p de la superficie neutra es independiente de la ordenada y de la fibra. Ahora bien, los esfuerzos no deben sobrepasar el límite de la proporcuonalidad, pues en caso contrariodejaría de cumplirse la ley de Hooke en que se ha basado la determinación de la forma de distribución de los esfuerzos.

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Los términos E y p constantes se han sacado fuera del signo integral. Como y dA es el momento estático del área diferencial dA respecto de E.N. , la integral j y dA es el momento elástico total del área. Por tanto

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Sin embargo, como solamente y enesta expresión puede ser nulo, se deduce que la distancia a E.N., eje de referencia, del centro de gravedad de la sección recta debe ser cero, es decir que la línea neutra pasa por el centroide del área de la sección transversal.

La condición Sumatoria de Y= 0 que da V=V conduce a la fórmula del esfuerzo cortante, cuya deducción se deja para más adelante (Sec.5-7). De momento, se hace observarsolamente que la fuerza cortante resistente V, es la suma de todas las fuerzas cortantes Txy dA, es decir V= Integral de Txy dA.

La condición Sumatoria de Z= 0 conduce a que Integral de Txy dA= 0. Puesto que las fuerzas anteriores no tienen componentes según el eje Z, en el sistema de fuerzas cortantes Txy dA está en equilibrio. Esta condición se verifica automáticamente para secciones...
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