Esfuerzo y balance de momentum

Solo disponible en BuenasTareas
  • Páginas : 5 (1099 palabras )
  • Descarga(s) : 0
  • Publicado : 30 de marzo de 2011
Leer documento completo
Vista previa del texto
Esfuerzo y balance de momentum

Esfuerzo en un punto
Las fuerzas ejercidas sobre un material pueden ser internas o externas. Las fuerzas externas son de dos tipos: esfuerzo en el cuerpo (por unidad de masa o volúmen) y esfuerzo en la superficie (por unidad de área). Si cortamos un cuerpo de material en equilibrio bajo un conjunto de fuerzas externas a lo largo de un plano, tal y como semuestra en la Figura 1, y consideramos uno de sus lados, extraemos dos conclusiones: 1) el equilibrio que proporcionan las cargas del lado eliminado es facilitado por un conjunto de fuerzas que se distribuyen entre las partículas de material adyacentes al plano de corte y que deberían facilitar un conjunto de fuerzas equivalentes a las que cargan la parte eliminada, 2) estas fuerzas pueden considerarseahora como fuerzas de superficie externa que actúan sobre la parte de material que está en estudio. El vector de esfuerzo en un punto sobre ∆S se define como:

Si el corte se hubiese realizado sobre el mismo punto en cuestión pero en un plano con una normal distinta, el vector de esfuerzo t habría sido diferente. Tengamos en cuenta los tres vectores de esfuerzo t(i) que actuan sobre los planosnormal a los ejes coordinados. Descompongamos también cada t(i) en sus tres componentes en el sistema coordinado ei (lo que se puede hacer para cualquier vector) como (véase Fig. 2):

Figura 1: esfuerzo de superficie f sobre el área ∆S de la sección de corte por plano cuya normal es n.

σij es el componente del vector de esfuerzo t(i) a lo largo de la dirección ej.

Figura 2: componentes delesfuerzo

Tensor de esfuerzo
Podemos seguir analizando diferentes planos que pasen a través del mismo punto con normales diferentes y, por lo tanto, vectores de esfuerzo diferentes t(n) y cabría preguntarse si existe alguna relación entre ellos o si son todos independientes. Encontraremos la respuesta si invocamos al equilibrio en el tetraedro (en contracción) de material de la Figura 3. Lasáreas de las caras del tetraedro son ∆S1, ∆S2, ∆S3 y ∆S. Los vectores de esfuerzo sobre planos con normales invertidas (t −ei) han sido sustituídos por −t(i) utilizando la tercera ley de Newton de acción y reacción (que de hecho se deriva del equilibrio): t(−n) = −t(n) . Si aplicamos el equilibrio tenemos:

Figura 3: tetraedro de Cauchy que representa el equilibrio de un tetraedro en contracciónhacia un punto donde ∆V es el volumen del tetraedro y f es la fuerza corporal por unidad de volumen. La siguiente relación: ∆Sni = ∆Si derivada en el siguiente apunte matemático: En virtud del Teorema de Green:

aplicado a la función ∅ = 1, obtenemos:

lo que aplicado a nuestro tetraedro da:

Si tomamos el producto escalar de esta ecuación con ei, obtenemos:

o

se puede sustituir en laecuación 3 para obtener:

o

El factor entre paréntesis es la definición del tensor de esfuerzo de Cauchy σ:

Obsérvese que se trata de una expresión tensorial (independiente de los componentes de tensor y vector en un sistema coordinado particular). Para obtener los componentes tensoriales en nuestro sistema rectangular reemplazamos las expresiones de t(i) de la ecuación 2.

Sustituyendoen la ecuación 4:

o bien:

Transformación de los componentes de esfuerzo

Consideremos un sistema diferente de coordinadas cartesianas ei′ . Podemos expresar nuestro tensor en cada una de ellas:

Deseamos poner en relación los componentes de esfuerzo en uno de los dos sistemas, para ello tomamos el producto escalar de (10) con ei′ y e′j :

o

Los factores entre paréntesis son lasdirectrices de coseno de los ángulos entre los ejes coordinados original y principal.

Direcciones y esfuerzos principales
Dados los componentes del sector de esfuerzos en un sistema de coordinadas dado, la determinación de la normal máxima y de los esfuerzos cortantes es fundamental para el diseño de estructuras. Los componentes de esfuerzo cortante y esfuerzo normal en un plano con normal n...
tracking img