Esfuerzos en vigas

1

Capitulo 6
Esfuerzos internos en vigas
Viga es un elemento estructural, que soporta principalmente cargas con dirección
perpendicular a su eje longitudinal.
El objetivo de determinar los esfuerzos internos en vigas, es identificar las secciones
críticas de la viga, desde el punto de vista de los esfuerzos que soportan, para
posteriormente diseñarlas de modo de proveerlas de laresistencia adecuada.
En este capítulo analizaremos los esfuerzos internos en vigas, limitados al caso de
estructuras planas con cargas en su plano.
En la viga que se muestra a continuación M , N ,V son los esfuerzos internos en
la sección A-A .
A
A

M

M

N

V = Esfuerzo de corte
N = Esfuerzo normal
M = Momento flextor

V

N

V

Usaremos la siguiente nomenclatura para losesfuerzos internos M , N ,V positivos o
negativos:

V

(+ )

N

(+ )

N

(− )

(+ )
V

N
N

(Tracción)
(Compresión)

Esfuerzos normales N

V

(− )

(− )
V

Esfuerzo de corte V

M

M

(+ )

(−)
M

Momentos flextores M

M

2

Estos esfuerzos internos se calcular mediante las ecuaciones del equilibrio del tramo
de viga, con las que se pueden generargráficos que entregan una información visual de los
esfuerzos internos en cada sección de la viga. El principio utilizado para plantear las
ecuaciones es que “ si toda la estructura se encuentra en equilibrio, parte de ella
también se encuentra en equilibrio”.
Veamos esto con ejemplos:
Ejemplo N° 1
Obtener los gráficos de M , N ,V de la viga cargada como se muestra a
continuación. Datos: P, a,θ =60°

2P

P

θ

A

a

B

a

a

Solución:
a)
El primer paso es el cálculo de las reacciones en los apoyos:

2P

P

θ

A

B

Tramo 1

Ay

Tramo 2

Tramo 3

a

a

a

By

Bx

3
Ecuaciones de equilibrio:
→
Fx = 0

∑

2 P ⋅ cosθ + Bx = 0
Bx = − P
Bx = −2P ⋅ cos 60° →
∑ M A = 0 → − P ⋅ a − 2 P ⋅ senθ ⋅ 2a + By ⋅ 3a = 0
1
B y = 1,488 ⋅ P
B y =⋅ (P + 4 P ⋅ sen60°) →
3
Ay + B y − P − 2 P ⋅ senθ = 0
∑ Fy = 0 →
Ay = 1,244 ⋅ P
→
Ay = − B y + P + 2 P ⋅ senθ

b)

El segundo paso consiste en calcular los esfuerzos internos de la viga.
En este caso existen tres tramos de análisis:
Tramo 1: el tramo comprendido entre el apoyo “A” y la carga “ P ”.
Tramo 2: el tramo comprendido entre la carga “ P ” y la carga “ 2 P ”.
Tramo 3: eltramo comprendido entre la carga “ 2 P ” y el apoyo “B”.
b.1. Ecuaciones de equilibrio para la determinación de los esfuerzos internos de la viga
en el tramo 1:

Mx

x

A

Nx

O

Vx
Ay
Las ecuaciones que se plantean para este tramo son válidas para 0 ≤ x ≤ a
Ecuaciones de equilibrio :
Nx = 0
→
(1)
Fx = 0 → N x = 0

∑
∑ Fy = 0 → Ay − Vx = 0
∑ M o = 0 → − Ay ⋅ x + M x = 0

→→

Vx = 1,244 ⋅ P
M x = 1,244 ⋅ P ⋅ x

(2)
(3)

b.2. Ecuaciones de equilibrio para la determinación de los esfuerzos internos de la viga
en el tramo 2:

P

a

Mx
Nx

A

O

x
Ay

Vx

4

Las ecuaciones que se plantean para este tramo son válidas para a ≤ x ≤ 2a
Ecuaciones de equilibrio :
Nx = 0
→
(4)
Fx = 0 → N x = 0

∑
V x = 0,244 ⋅ P
→
∑ Fy = 0 → Ay − P − Vx =0
∑ M o = 0 → − Ay ⋅ x + P ⋅ ( x − a ) + M x = 0
M x = Ay ⋅ x − P ⋅ ( x − a ) = 1,244 ⋅ P ⋅ x − P ⋅ x + P ⋅ a
M x = (0,244 ⋅ x + a ) ⋅ P
→

(5)

(6)

b.3. Ecuaciones de equilibrio para la determinación de los esfuerzos internos de la viga
en el tramo 3:

2P

P

Mx

θ

A

O

a

a

Nx

Vx

x
Ay

Las ecuaciones que se plantean para este tramo son válidas para 2a ≤x ≤ 3a
Ecuaciones de equilibrio :
N x = −P
→
(7)
∑ Fx = 0 → 2 P ⋅ cosθ + N x = 0

V x = −1,488 ⋅ P
→
∑ Fy = 0 → Ay − P − 2 P ⋅ senθ − Vx = 0
∑ M o = 0 → − Ay ⋅ x + P ⋅ ( x − a ) + 2 P ⋅ senθ ⋅ ( x − 2a ) + M x = 0
M x = Ay ⋅ x − P ⋅ ( x − a ) − 2 P ⋅ senθ ⋅ ( x − 2a )

M x = (4,464 ⋅ a − 1,488 ⋅ x ) ⋅ P

→

(8)

(9)

Observación:
Para la determinación de los esfuerzos...