Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades

4.5 ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO Y SUS PROPIEDADES
En matemática, el producto escalar, también conocido como producto interno, interior o punto, es una operación definida sobre dosvectores de un espacio elucido cuyo resultado es un número o escalar. Esta operación permite explotar los conceptos de la geometría euclidiana tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tresdimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectorialesdotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.
Productos interiores definidos en espacios vectoriales usuales
• En el espacio vectorial se suele definir el producto interior(llamado, en este caso en concreto, producto punto) por:

• En el espacio vectorial se suele definir el producto interior por:

Siendo el número complejo conjugado de
• En el espaciovectorial de las matrices de m x n , con elementos reales

donde tr(A) es la traza de la matriz B y AT es la matriz traspuesta de A.
• En el espacio vectorial de las matrices de m x n , con elementoscomplejos

donde tr(A) es la traza de la matriz B y A * es la matriz traspuesta conjugada de A.
• En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el intervalo C[a, b], acotado por a y b:• En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n:
Dado tal que :


Formas cuadráticas
Dada una forma bilineal simétrica definida sobre un espacio vectorial puededefinirse un producto escalar diferente del producto escalar euclídeo mediante la fórmula:

Donde:

es una base del espacio vectorial
Puede comprobarse que la operación anterior satisface todaslas propiedades que debe satisfacer un producto escalar.

Producto interno
Algunas nociones geométricas en R2 y en R3 pueden definirse a partir del producto escalar. La definición que sigue es...