Espacio vectorial copilacion de trabajo

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ESPACIO VECTORIAL
En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales.
A los elementos de un espaciovectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

DEFINICION DE ESPACIO VECTORIAL
Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones:

Con la operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir
2) tenga la propiedad asociativa, es decir
3) tengaelemento neutro , es decir
4) tenga elemento opuesto, es decir
Y la operación producto por un escalar:

Operación externa tal que:
5) tenga la propiedad:
6) tenga elemento neutro 1:
Que tenga la propiedad distributiva:
7) distributiva por la izquierda:
8) distributiva por la derecha:
Observación - Para demostrar que un conjunto es un espacio vectorial:* Si supiésemos que es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendríamos probados los apartados 1, 2, 3 y 4.
* Si supiésemos que el producto es una acción por la izquierda de tendríamos probados los apartados 5 y 6.
* Si no se dice lo contrario:.
Propiedades - Unicidad del vector neutro de la propiedad 3:
Supongamos que el neutro no es único, es decir, sean y dos vectoresneutros, entonces:

Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4: supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean y dos vectores opuestos de , entonces, como el neutro es único:

Unicidad del elemento en el cuerpo K: supongamos que 1 no es único, es decir, sean y dos unidades, entonces:

Unicidad del elemento inverso en el cuerpo K: supongamos que el inverso a − 1 de a, no es único, esdecir, sean y dos opuestos de , entonces, como el neutro es único:

Producto de un escalar por el vector neutro:
Producto del escalar 0 por un vector:
Si .
* Si a=0 es cierto.
* Si entonces:
.
Signos equivalentes:
* .
Notación .
Primer ejemplo con demostración al detalle
Queremos ver que es un espacio vectorial sobre
Veamos pues que juega el papel de y el de :Los elementos:
son, de forma genérica:
es decir, pares de números reales. Por claridad conservaremos la denominación del vector, en este caso u, en sus coordenadas, añadiendo el subíndice x o y para denominar su componente en el eje x o y respectivamente
En V defino la operación suma: Suma + : V x V – V(uv) – w
donde: u = (ux, uy) v = (vx,vy) w = (wx, wy)

y la suma de u y v seria:

donde:

esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida.
La operación interna suma tiene las propiedades:
1) La propiedad conmutativa, es decir:

2) La propiedad asociativa:

3) tiene elemento neutro :

4) tenga elemento opuesto:

La operación producto por un escalar:El producto de a y u sera:

donde:

esto implica que la multiplicación de vector por escalar es externa y aún así está bien definida.
5) tenga la propiedad:

Esto es:

6) tenga elemento neutro: 1:

Que resulta:

Que tiene la propiedad distributiva:
7) distributiva por la izquierda:

En este caso tenemos:

8) distributiva por la derecha:

Que en este caso tenemos:

Quedademostrado que es espacio vectorial.
Ejemplos de espacios vectoriales
Los cuerpos: Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre él mismo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.
* es un espacio vectorial de dimensión uno sobre .
Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre su subcuerpo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.
* es un espacio vectorial de...
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