Espacio vectorial i euclideo

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Fundamentos Matem´ticos de la Ingenier´ I a ıa Bolet´ 2: Espacios Vectorial y Eucl´ ın ıdeo.
Curso 2010/2011

Los ejercicios que se citan en este bolet´ corresponden a la numeraci´n que ın o tienen en el libro de Problemas de la asignatura (SPUPV-98.910)

´ Indice
4.1. Espacios Vectoriales . . . . . . . . . 4.1.9. Cambio de base . . . . . . . 4.1.11. Rango de una matriz . . . . 4.2. EspacioEucl´ ıdeo . . . . . . . . . . 4.2.7. Ortogonalidad . . . . . . . . 4.2.8. Algoritmo de Gram-Schmidt 4.2.9. Subespacio ortogonal . . . . 4.2.10. Proyecciones ortogonales . . EJERCICIOS COMBINADOS . . . ´ APLICACION: M´ ınimos Cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 4 4 4 4 4 5 6 12

1

Bolet´ 2: Espacios Vectorial y Eucl´ ın ıdeo.

4.1.

Espacios Vectoriales

Ejercicios:4.11, 4.12, 4.16, 4.28, 4.33, 4.34, 4.40, 4.55, 4.56. Problema 1 Dados los siguientes subespacios vectoriales de R4 y R3 , respectivamente: F1 = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x2 − 2x3 + 2x4 = 0} , F2 = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 + 2x2 + 3x3 = 0} , encontrar una base de cada uno de ellos y su dimensi´n. o Soluci´n: o BF1 = {b1 = (1, 0, 0, 0) , b2 = (0, 2, 1, 0) , b3 = (0, −2, 0, 1)} BF2 = {b1 = (−2,1, 0) , b2 = (−3, 0, 1)}

4.1.9.

Cambio de base

Ejercicios: 4.66 y 4.72. Problema 2 Encontrar la matriz de cambio de base, de la base β a la base δ, siendo: β = {b1 = (1, 1, 1) , b2 = (1, −1, 1) , b3 = (0, 1, 3)} δ = {d1 = (0, 1, 0) d2 = (−1, 0, 1) d3 = (2, 1, 0) , }   2  1  , ¿Cu´les son sus Si las componentes de un vector x en la base β son: Cβ (x) = a 3 componentes en la base δ?Soluci´n: o  1  0 −2 − 2        1 3 ; = 1      3  1 1 2   7  −2        Cδ (x) =  12       15  2 x1 +x2 +2x3 =0 −x1 +x2 +2x4 = 0 

Pδ←β

Problema 3 Sea F =

(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 :

. Se pide:

i) Encontrar una base β de F .

2

Bolet´ 2: Espacios Vectorial y Eucl´ ın ıdeo.

ii) Dada otra base de F : δ = {(0, 2, −1, −1) , (−1, −3, 2, 1)},encontrar las matrices de cambio de base: Pδ←β y Pβ←δ . Soluci´n: o i) β = {(−1, −1, 1, 0) , (1, −1, 0, 1)} ii) Pδ←β = 1 −2 1 −1 y Pβ←δ −1 2 −1 1

Problema 4 Sean U, V y W tres bases de un mismo espacio vectorial E. Sabiendo que 1 1 2 −2 PV←U = y PW←U . ¿Cu´les son las componentes de un vector x en la a 0 1 1 3 2 base W si las componentes de x en la base V son ? −3 Soluci´n: o CW (x) = 16 −4Problema 5 Sean β = {v1 , v2 , v3 } y δ = {v1 + v2 , v1 − v2 , v2 + v3 } dos bases de un subespacio vectorial F . Obtener las matrices de cambio de base: Pβ←δ y Pδ←β . Soluci´n: o 1 1 0   =  1 −1 1   0 0 1     ;   Pδ←β  1 1 1 −   2 2 2      1 1 1  =  −   2 2   2   0 0 1 

Pβ←δ

Problema 6 Dado el subespacio vectorial F = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x1 − 2x2 + x3 = 0}, se pide: (i) Hallar una base V de F . (ii) Si W = {(1, 1, 1, 1), (−2, −1, 0, 2), (−1, 1, 3, 0)} es otra base del subespacio F , obtener las matrices de cambio de base PV←W y PW←V .

3

Bolet´ 2: Espacios Vectorial y Eucl´ ın ıdeo.

Soluci´n: o (i) V = {v1 = (2, 1, 0, 0), v2 = (−1, 0, 1, 0), v3 (0, 0, 0, 1)}     6 −2 3 1 −1 1 1 2  0 3  y PW←V = 1  −3 (ii) PV←W =  1 7 −2 3 −1 1 2 04.1.11. Rango de una matriz

Ejercicio: 4.21  1 0 −1 0  calcular el rango de A, obtener los Problema 7 Dada la matriz A =  0 1 −1 2 1 siguientes subespacios vectoriales y la dimensi´n de cada uno de ellos: o Im(A), Soluci´n: o Rango(A) Im(A) Nuc(A) Col(A) Fil(A) = = = = = 2 Env{(1, 0, −1), (0, 1, 2)} =⇒ dim Im(A) = 2 Env{(1, 0, 1)} =⇒ dim Nuc(A) = 1 Im(A) Env{(1, 0, −1), (0, 1, 0)} =⇒ dim...
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