espacio vectorial

ESPACIO VECTORIAL
Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación por escalares y la adición (una asociación entre un par de objetos). Estas dos operaciones se tienen que ceñir a unconjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.
Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primeraformulación moderna yaxiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestionesde proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada.















. SUBESPACIOS VECTORIALES
1. SUBESPACIOS VECTORIALES-En álgebra lineal, un subespacio vectoriales el subconjunto de un espacio vectorial, que debe cumplir ciertas característicasespecíficas.-Sean V y S dos espacios vectoriales definidos en el campo K, entonces S es un subespacio vectorial de V, si y solo si, S ⊆ V.-De hecho, todos los espacios vectoriales tienen subconjuntos que también son espacios vectoriales. VS
2. Condición de existencia de subespacioEl criterio para la verificación de que S sea subespacio de V, es que ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * conescalares del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S.Para ello se definen 4 axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial, se define S como subespacio vectorial si y solo si:
3. 1. S no es un conjunto vacío.2. S es igual o está incluido en V.3. La suma es ley de composición interna.4. Elproducto es ley de composición externa. -Si estos cuatro axiomas se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.
4. TEOREMA-Sea (V, K, +, *) un espacio vectorial S⊆ V, S≠ ∅,S es un subespacio vectorial de V si y solo si cumple que:∀u, v ∊ S / u+v ∊ S2. ∀ α ∊ K, ∀u ∊ S / α u ∊ S
5. Intersección:Se define la intersección ( ∩) de dos subespacios vectoriales S1 y S2 de V, como el subconjunto de Vque verifica: a ∈ S1 ∩ S2 ⇔ a ∈ S1 y a ∈ S2 Teorema : La intersección de un número cualquiera de subespacios vectoriales de un espacio vectorial V es, a su vez, un subespacio vectorial de V. Suma:Sea (V ; K ; +; •) y sean S1 y S2 dos subespacios de V. Se llama sumade S1 y S2 al conjunto:S1 +S2= {s1+ s2/ s1∈S1, s2∈ S2} Teorema : El conjunto S1 + S2 es un subespacio de V; es el menorde todos lossubespacios que contienen a S1 y S2.
Suma directa: Sean S1 y S2 subespacios de un espacio vectorial (V; K ;+; •) y sea L ⊆ V , decimos que L es suma directa de S1 y S2; lo que se denota L = S1 ⊕ S2, si se verifica que :L = S1 + S2 y S1∩S2 = .Si L = V; a los subespacios S1 y S2 se les denominan subespacios complementarios.
. Unión : S1 υ S2 = {α ∈V /α ∈ S1 ^α∈ S2} En la gran mayoría de los casosla unión de dos subespacios no es un subespacio de V, pues no se cumple con la ley de composición interna.Pertenece de forma segura la unión a V en los casos en que S1 este contenido en S2 o viceversa.

















-combinación lineal, independencia lineal
 combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por...