Espacio Vectorial

´ Algebra lineal y Geometr´ I ıa
Gloria Serrano Sotelo ´ Departamento de MATEMATICAS

1. Sea k un cuerpo.

Espacio vectorial. Subespacios vectoriales

Definici´n 1.1. Un k-espacio vectorial o espacio vectorial sobre k es un conjunto E con o dos operaciones, suma y multiplicaci´n por elementos de k, que verifican: o Suma 1. Es una operaci´n cerrada: e + e￿ ∈ E, cualesquiera que sean e, e￿ ∈ E. o 2.Es asociativa: (e + e￿ ) + e￿￿ = e + (e￿ + e￿￿ ), cualesquiera que sean e, e￿ , e￿￿ ∈ E. 3. Tiene elemento neutro: Existe 0 ∈ E tal que 0 + e = e + 0 = e, para todo e ∈ E. 4. Todo elemento de E posee un opuesto: Para cada E ∈ E existe −e ∈ E tal que e + (−e) = (−e) + e = 0. 5. Es conmutativa: e + e￿ = e￿ + e, cualesquiera que sean e, e￿ ∈ E. Multiplicaci´n por elementos de k o 1. Es una operaci´ncerrada: λe ∈ E, cualesquiera que sean λ ∈ k y e ∈ E. o 2. λ(e + e￿ ) = λe + λe￿ , cualesquiera que sean λ ∈ k y e, e￿ ∈ E. 3. (λµ)e = λ(µe), cualesquiera que sean λ, µ ∈ k y e ∈ E. 4. (λ + µ)e = λe + µe, cualesquiera que sean λ, µ ∈ E y e ∈ E. 5. 1e = e, siendo 1 la unidad de k. Los elementos del espacio vectorial E se llaman vectores y los del cuerpo base k escalares. Ejemplos 1.2. • Rn = {(x1 ,. . . , xn ) : xi ∈ k, 1 ≤ i ≤ n} es un R-espacio vectorial con las operaciones: Suma (x1 , . . . , xn ) + (x￿1 , . . . , x￿n ) = (x1 + x￿1 , . . . , xn + x￿n ) y multiplicaci´n por escalares o λ(x1 , . . . , xn ) = (λx1 , . . . , λxn ). • k[x] = {polinomios en x con coeficientes en k} es un k- espacio vectorial con las operaciones suma de polinomios y producto de un polinomio por un escalar. • C= {a + bi : a, b ∈ R} es un R-espacio vectorial con las operaciones suma de n´meros u complejos y producto de un n´mero complejo por un n´mero real. u u • C es tambi´n un C-espacio vectorial respecto de la suma y el producto de n´meros come u plejos. • Matrices de orden m × n con coeficientes en k es un k- espacio vectorial con las operaciones: Suma de matrices, A + B = (aij + bij ), y producto deuna matriz por un escalar, λA = (λaij ). Una combinaci´n lineal de los vectores e1 , . . . , en ∈ E es un vector de E de la forma o λ1 e1 + · · · + λn en para ciertos escalares λ1 . . . λn ∈ k. Los subconjuntos del espacio vectorial E que conservan la estructura lineal son los que son cerrados por combinaciones lineales: Definici´n 1.3. Un subconjunto V de E es un subespacio vectorial de E si escerrado por o combinaciones lineales, es decir, si λv + µv ￿ ∈ V cualesquiera que sean v, v ￿ ∈ V y λ, µ ∈ k.
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M (m × n, k) = {A = (aij ) : aij ∈ k, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}

Ejemplos 1.4. • Las rectas y los planos que pasan por el origen son subespacios de R3 . • Los polinomios de grado menor o igual que dos forman un subespacio de k[x]. • El conjunto S(n, k) = {A ∈ M (n, k) : A = At } de lasmatrices sim´tricas de orden n con e coeficientes en k es un subespacio vectorial de M (n, k) Se representa por ￿e1 , . . . en ￿ el conjunto de las combinaciones lineales de los vectores e1 , . . . , en . Por definici´n, ￿e1 , . . . en ￿ es un subespacio vectorial de E, el subespacio generado por o los vectores e1 , . . . , en . Si E = ￿e1 , . . . en ￿, es decir, si todo vector de E se expresa comocombinaci´n lineal de o e1 , . . . , en , se dice que {e1 , . . . , en } forman un sistema de generadores de E. Ejemplos 1.5. • Los polinomios 1, x, x2 generan el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a cero. • Los vectores u = (1, 0, 1), v = (0, 1, 2) forman un sistema de generadores del plano de R3 de ecuaci´n x + 2y − ￿ = 0. ￿ ￿ o z ￿ ￿ ￿ 1 0 0 1 0 0 • Las matrices , y generanS(2, R). 0 0 1 0 0 1 2. ´ Dependencia e independencia lineal. Bases. Dimension

Sea E un k-espacio vectorial. Los vectores {e1 , . . . , en } de E son linealmente dependientes si alguno de ellos es combinaci´n lineal de los otros, esto es, si ei = α1 e1 +· · ·+ ei +· · ·+αn en para ciertos α1 , . . . , αn ∈ k. o ˆ Los vectores {e1 , . . . , en } de E son linealmente independientes si ninguno de...