Espacios vectoriales, matrices y resolucion de sistemas de ecuaciones lineales

Espacios vectoriales
En los asuntos cotidianos de nuestras vidas y aun más en la ciencia es útil e incluso imprescindible describir con números objetos, eventos y fenómenos. En muchos casos un solo número nos basta para describirlos. Sin embargo, para describir datos como por ejemplo la posición de una ciudad sobre la tierra, se requieren dos números, la localización de un objeto en el espaciorequiere de tres y para ser explicadas, muchas situaciones de la física requieren más de 3 números.
Todos los ejemplos anteriores, en que una colección de números especifica una magnitud física o situación física, química, económica o social, son ejemplos de vectores.

Espacio vectorial
Se define como una estructura matemática creada a partir del conjunto de todos los vectores especificadospor un número fijo de números reales con ciertas operaciones básicas definidas sobre estos vectores. El número de números reales necesarios para especificar los vectores en un espacio vectorial es la dimensión del espacio mismo. Así, un vector en el espacio de dimensión cuatro es una cuaterna de números reales y, en general, un vector en un espacio de n dimensiones es una n-ada de números reales.El espacio vectorial n dimensional (Vn) es el conjunto de todos los números reales, a las que denotamos por: x=x1, …… xn, xi ∈ R, (i=1, ……, n) y llamamos vectores, donde las relaciones de igualdad y las operaciones de adición y de multiplicación por un número real se definen como:
Igualdad de vectores: Si x=x1, …… xn y y=y1, …… yn son vectores en Vn, entonces:
x=y si xi= yi paratodo i=1, ……, n.
Así pues, dos vectores son iguales si sus componentes correspondientes son iguales. Tal es el caso de que; por ejemplo, el vector x=(4,0,-8,4,7) no es igual al vector y=(4,0,-8,7,4).
Adición de vectores: Si x=x1, …… xn y y=y1, …… yn son vectores en Vn, entonces:
x+y=x1+y1, …… xn+yn
Por lo tanto, la suma de dos vectores es el vector obtenido sumando los componentescorrespondientes de cada vector. Por ejemplo, si x=(3,16,-2,6,10) y y=(34,-16,-4,5,27), entonces: x+y=[3+34, 16+-16,-2+-4,6+5,10+27]=(37,0,-6,11,37)
Multiplicación de un vector por un número real: Si x=x1, …… xn es un vector en Vn y r es un número real, entonces:
rx=rx1, …… rxn.
El producto de un numero real r por un vector x es el vector que se obtienen al multiplicar cada componente de x por el númeroreal r. Por ejemplo:
12-1,0,8=12-1,120,128=(-12,0,4)

De modo similar al empleo de los anteriores ejemplos, cada una de las siguientes propiedades algebraicas fundamentales del espacio vectorial Vn se puede establecer con facilidad para la suma y la multiplicación:
1. Para todo x y y en Vn, x+y∈ Vn
2. Para todo x y y en Vn, x+y=x+y
3. Para todo x, y y z en Vn, x+y+z=x+(y+z)
4.Hay un y solo un vector en Vn, (denotado por 0 y llamado vector 0) con la propiedad de qué: x+0=x para toda x ∈ Vn. [0=0,……0]
5. Para cada x ∈ Vn hay un vector único (denotado por x ) con la propiedad de qué: x+-x=0. (-x=-1x)
6. Para todo x ∈ Vn y todo r ∈ R, rx ϵ Vn
7. Para todo x ∈ Vn, 1∙x=x
8. Para todo r y s pertenecientes a R y todo x ϵ Vn, rsx=rsx
9. Para todo r,s ∈ R y todo x ∈ Vn, r+sx=rx+sx
10. Para todo r ∈ R y todo x, y ∈ Vn, rx+y=rx+ry
11.
Para demostrar esto, cabe destacar que las matrices constituyen un espacio vectorial y normalmente a los elementos de un espacio vectorial se le llama vectores. Así que por ejemplo, si queremos demostrar que R2 es un espacio vectorial sobre R, R2 juega el papel de V y R el de K:
Los elementos, u ∈Vn=R2=R×R  son de forma genérica, u=(x, y), es decir, pares de números reales y RxR es una matriz cuadrada de orden mxn
En Vn defino la operación u + v = (x1, y1) + (x2, y2)= (x1+x2, y1+y2) = (x3, y3) que pertenece a Vn, esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida en el espacio vectorial. Ahora:
1. u + v = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+x2, y1+y2) = (x2+x1, y2+y1) = (x2, y2) +...