Espacios vectoriales

Definición. Un espacio vectorial real V es el conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones llamadas adición y multiplicación por un escalar.
Ejemplo. Sean y , entonces la suma vectorial y multiplicación por un escalar es

i.

ii.

Un vector es una matriz de una columna. Un vector-n o n-vector es una matriz nx1. Por ejemplo

El conjunto de todos losvectores n se representa con , los vectores y son los elementos correspondientes de y .

Axiomas de un Espacio Vectorial V

Sean y escalares, entonces:

Suma
i. (cerradura)
ii. (conmutativa)
iii. (asociativa)
iv. (identidad)
v. tal que (inverso aditivo)

MULTIPLICACION POR UN ESCALAR
i. (cerradura de la multiplicación)
ii. ( primera ley dedistribución)
iii. (segunda ley de distribución)
iv. (ley asociativa de la multiplicación)

v. (identidad multiplicativa)

Al vector que tiene 1 como i-ésimo y todos los demás componentes 0, se denota mediante se llaman vectores de la base estándar de o simplemente la base de , por ejemplo, los vectores de base estándar de y , mientras que los de son:

Combinación lineal

Seann-vectores, y sean escalares. El n-vector de la forma se llama combinación lineal de . Los escalares se llaman coeficientes de la combinación lineal.

Ejemplo: Determine si cada uno de los sig. vectores

y

Son combinación lineal de donde

.
Solución: Determinamos los escalares tales que , entonces


Lo cual se obtiene un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitasResolviendo por cualquiera de los métodos aprendidos se tiene que el sistema tiene una infinidad de soluciones, i.e., con t cualquier número real. Por ejemplo si t=0 , entonces , así es una combinación lineal de

De la misma manera para el vector , determinamos los escalares tales que , entonces

Resolviendo por cualquiera de los métodos aprendidos se tiene que el sistema esinconsistente, i.e., no tiene solución, por lo tanto, no es una combinación lineal de .

Sistemas de ecuaciones lineales como ecuaciones vectoriales.

Si son las incógnitas de un sistema, la matriz de coeficientes es , cuyos términos constantes son las componentes de un vector ; por tanto si son las columnas de , las notaciones siguientes son equivalentes:

Ejemplo. Escriba el sistema siguienteen forma vectorial



Ejercicios. Determine si el primer vector es combinación lineal de los otros.

1.
2.
3.
4.
5.
6.

2. Determine si es una combinación lineal de las columnas de A
1.
2.
3.
4.

Espacio generado por un conjunto de vectores

Definición. El conjunto de todas las combinaciones lineales de las n-vectores se llamaespacio generado por los vectores y se representa por . Si , se dice que generan a y que es un conjunto generador de .

Ejemplo1: ¿Esta en el ?
Solución: El vector esta en el espacio generador sii hay escalares y tales que

.

Esto equivale a decir que la matriz aumentada es consistente. Determinando los valores de y por cualquier método aprendido, tenemos que así que el sistemaes consistente y el vector si esta en el generador.

Ejemplo 2. Determine un conjunto generador para:

Solución: como para todos los escalares y , esta generado por

Teorema. Si . Entonces para cualesquiera y en y cualquier escalar :
i. está en
ii. está en

Ejercicios. Sean

a) ¿ esta en el ?
b) ¿ esta en el ?
c) ¿ esta en el ?

2. Encuentres unconjunto generador para
a)
b)

Independencia lineal

Definición. Sean n-vectores de un espacio vectorial V. Entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes si existen n escalares no todos cero, tales que

Teorema. Dos vectores en un espacio vectorial V son linealmente dependientes sii unos de ellos es múltiplo del otro.

Ejemplo: Determine si los vectores...