Espacios vectoriales

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UNIDAD 4: ESPACIOS VECTORIALES
4.1.-Definicion de Espacios Vectoriales y sus propiedades
Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos llamados vectores, junto dos operaciones básicas llamadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen los diez axiomas siguientes:
Antes de dar la lista de las propiedades que satisfacen los vectores en un espacio vectorial deben mencionarse doscosas. Primero, mientras que puede ayudar pensar en R2 o en R3 al manejar un espacio vectorial, con frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a estos cómodos espacios. Segundo, la definición anterior da una definición de un espacio vectorial real. La palabra “real” significa que los escalares que se usan son números reales. Sería igual de sencillo definir un espaciovectorial complejo usando números complejos en lugar de reales. Este trabajo aborda principalmente los espacios vectoriales reales.
I.- Si x € V y y € V, entonces x + y € V. (Cerradura bajo la suma).
II.- Para todo x, y y z en V, (x + y) + z = x + (y + z). (Ley asociativa de la suma de vectores).
III.- Existe un vector 0 € V tal que para todo x € V, x + 0 = 0 + x = x. (El 0 se llama vector cero oidéntico aditivo).
IV.- Si x € V, existe un vector –x en V tal que x+(-x) = 0. (El vector –x se llama inverso aditivo de x).
V.- Si x y y están en V, entonces x + y = y + x. (Ley conmutativa de la suma de vectores).
VI.- Si x € V y α es un escalar, entonces αx € V. (Cerradura bajo la multiplicación por un escalar).
VII.- Si x y y están en V y α es un escalar, entonces α(x + y) = αx + αy.(Primera ley distributiva).
VIII.- Si x € V y α y β son escalares, entonces (α + β)x = αx + βx. (Segunda ley distributiva).
IX.- Si x € V y α y β son escalares, entonces α(βx) = (αβ)x. (Ley asociativa de la multiplicación por escalares).
X.- Para cada vector x € V, 1x) x.
Cabe destacar también, que los vectores pueden ser (además de flechas o magnitudes físicas) planos, rectas, polinomios,matrices, funciones, o cualquier conjunto de entes matemáticos que puedan ajustarse a los axiomas anteriores.

El espacio vectorial trivial
Sea V= {0}. Es decir, V consiste sólo en el número 0. Cómo 0+0 = 0*1=0+(0+0)=0, se ve que V es un espacio vectorial. Este es llamado el espacio vectorial trivial. Si V= {1}, entonces este no es un espacio vectorial, ya que no contiene al vector 0, y además 1+1=2, que no pertenece a V.
Los puntos sobre la recta y=mx son un espacio vectorial.
Sea V= {(x, y): y =mx, donde m es un número real fijo y x es un numero real arbitrario}. Es decir, V consiste en todos los puntos que están sobre la recta y = mx que pasa por el origen y tiene pendiente m. Para demostrar que V es un espacio vectorial:
Suponga que x = (x1, y1) y y = (x2, y2) están en V. Entonces y1= mx1, y2 = mx2, y x+y = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, mx1) + (x1, mx2) = (x1 + x2, mx1 + mx2) =(x1 + x2, m(x1 + x2)) € V, que es un espacio vectorial.

4.2.- Subespacio Vectorial y Propiedades:
Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V y suponga que H es en si un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H esun subespacio de V. Se puede decir que el subespacio H hereda las operaciones del espacio vectorial “padre” V.
Un subconjunto no vacio H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las reglas siguientes:
1.- El vector 0 pertenece a H.
2.- Si x y y son vectores de H, su suma x + y pertenece también a H.
3.- Si x pertenece a V y α es un escalar arbitrario, entonces αxpertenece a H.
Las demás operaciones se dice que son heredadas y que basta con sólo demostrar las reglas anteriores para que un subconjunto sea un subespacio.
El subespacio vectorial trivial
Para cualquier espacio vectorial V, el subconjunto {0} que consiste en el vector 0 es un subespacio, ya que 0 + 0 = 0, y α0 = 0. Esto se llama subespacio trivial. Otro subespacio que también se puede considerar...
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