Espacios vectoriales

Moisés Villena Muñoz

Cap. 5 Espacios Vectoriales

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5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Definición de Espacio Vectorial Propiedades Subespacios Subespacio generado Dependencia e Independencia Lineal Bases y Dimensión Espacios asociados a matrices Cambio de base Bases ortonormales

OBJETIVOS:
         Conceptualizar Espacios Vectoriales. Determinar si un Conjunto es o no EspacioVectorial Determinar si un Subconjunto es o no Subespacio Vectorial Encontrar Subespacios Generados. Determinar si un conjunto de vectores es Linealmente Independiente o no. Determinar Bases y la dimensión de Subespacios Vectoriales. Encontrar Espacios Filas, Espacios Columna, Núcleo e Imagen de una matriz. Obtener el vector de coordenadas de un vector con respecto a diversas bases emplenadoMatrices de Transición. Hallar Bases Ortonormales.

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Cap. 5 Espacios Vectoriales

El lector ya se habrá percatado, por los cursos de Matemáticas Básicas, que los conjuntos con los cuales trabajaba son estructuras en los cuales se definen dos operaciones básicas “Suma entre sus elementos” y “Multiplicación por escalares”. Se trata ahora de realizar un estudio másriguroso.

5.1 Definición de Espacio Vectorial Un conjunto no vacio V junto con dos operaciones "Suma" y "Multiplicación por Escalar", denotadas como  y respectivamente, constituyen un Espacio Vectorial Real si se satisfacen los 10 axiomas siguientes:
1. Si suma mos dos elementos de 2.

V,

el resul tante debe ser elemento de

decir, si v1  V  v 2  V , entonces

 v1  v2   V . La Sumadebe ser Cerrada

V . Es

v1 , v 2  V ; v1  v2  v2  v1 . La Suma debe ser Conmutativa. 3. v1 , v 2 , v3  V ; v1   v 2  v3    v1  v 2   v3 . La Suma debe

ser

Asociativa. 4. Debe existi r un elemento en V , denotémoslo como 0 , tal que sumado con cualquier elemento d e V el resul tante sea el mismo elemento. Es decir, 0  V, v  V , tal que v  0  0  v  v . Aquí 0 esllamado “Nulo”, “Idéntico”, o “Neutro” 5. Para cada elemento de

V debe existir un

elemento, denotémoslo como

modo que al suma rlos resulte el Neutro. Es decir,

v    v   0 . Donde
entonces

 v 

v  V,   v  ,
v”

v

, de

tal que

es llamado “Inverso Adi tivo de

6. La Mul tiplicación por Escalar debe ser Cerrada. Es decir, si v  V   



v   V .Mul tiplicando a cualquier elemento de V por un número

,

real el resul tado debe ser elemento de V . 7. La Mul tiplicación por Escalar debe ser Distributiva para su Suma. Es decir,



 v1  v2   

v1  

v2 . Donde   v

8. La Mul tiplicación por Escalar debe ser Distributiva para la suma de números reales. Es decir, Es decir,  10. El número

   

v 

v .Donde  ,  

.

9. La Mul tiplicación por Escalar debe ser Asociati va.



v  



v  . Donde  ,  

1 debe ser el “ Idéntico Mul tiplicativo” . Es d ecir, 1 v  v

A los elementos de los Espacios Vectoriales se los denomina Vectores. De acuerdo a lo definido los conjuntos conocidos con las operaciones Suma convencional y Multiplicación por Escalar convencional seríanEspacios Vectoriales.

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Ejemplo 1
V  (El conjunto de los Números Reales) Con las operaciones usuales de suma y multiplicación entre números reales se cumplirían los 10 axiomas.

Ejemplo 2
V
2





 x      / x   y  

   y   (El conjunto de pares ordenados )  

Con las operaciones usuales de suma entrepares ordenados y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 axiomas.

Ejemplo 3
V
3

Con las operaciones usuales de suma entre ternas ordenadas y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 axiomas.

 x      y  / x   z   

 y

   z   (El conjunto de ternas ordenadas)  

Ejemplo 4
 x1     x2    / x1   x3   x4  ...