Espacios vectoriales

ESPACIOS VECTORIALES
4.1 Definición de Espacio Vectorial y propiedades
En el estudio de las matemáticas o de la física, el término vector se aplica a una amplia variedad de objetos, principalmente a cantidades que representan magnitudes y dirección, ya sea un fuerza, una velocidad o una distancia. El término vector también se usa para describir entidades como matrices, polinomios o funciones.En un espacio vectorial intervienen dos conjuntos, vectores y escalares, los segundos como coeficientes de los primeros. 
Supongamos que tenemos un conjunto  donde para  y  escalares cumplen con las siguientes propiedades:
Propiedad de cerradura
.
.
Propiedad de adición
.
.
 Contiene al elemento 0 con.

Propiedad de multiplicación por un escalar
.
.
.
4.2 Definicion de subespaciovectorial y propiedades.
Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V (K ). Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicacion por escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V. En este caso se denota
H ⊂ H
Teorema
Un subconjunto no vacio H de un espacio vectorial V (K ) es un
subespacio de V si, y solo si cumple con las siguientescondiciones:
a) Dado u ∈ H y v ∈ H, entonces u + v ∈ H
b) Dado α ∈ K y v ∈ H, entonces αv ∈ H
Segun este teorema no es necesario verificar todos los
axiomas de la definicion de espacio vectorial para determinar si ´
un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio.
Bastara con verificar la cerradura en ambas operaciones.
Ejemplo
Demuestra que H = {(x, y) : y = 2x} = {(x, 2x) : x ∈IR} es un
subespacio de IR2.
Una consecuencia del Teorema es el siguiente Corolario:
Corolario:
Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al
elemento neutro.
Gracias a este Corolario tenemos una herramienta muy util
para verificar cuando un subconjunto de un espacio vectorial V
no es un subespacio de V . la razon se debe a lo siguiente:
(El subespacio Trivial)
Para cualquierespacio vectorial el subconjunto formado
´unicamente por el elemento neutro {e} es un subespacio. En
efecto, e + e = e y αe = e para todo escalar alpha. Este
subespacio vectorial se llama el Subespacio Trivial.
Todo espacio vectorial es un subespacio en si mismo. Es decir,
para todo espacio vectorial V , V es un subespacio de si mismo.
Estos dos ejemplos nos muestran que todo espacio vectorial Vcontiene dos subespacio. Pero es de nuestro interes conocer ´
otros subespacios que no sean estos, nos referimos a los
subespacios propios de un espacio vectorial.
(En el Plano)
Consideremos el espacio vectorial IR2
, un subespacio propio
de IR2
es el subconjunto
H = {(x, y) : y = mx}.
El conjunto formado por todas las rectas del plano que pasan
por el origen. Notese que si m ´ = 2coincide exactamente con el
subespacio estudiado al inicio de la sesion. En general, los ´
´unicos subespacios propios de IR2
son rectas que pasa por el
origen (¿por que?)
(En el Espacio)
Consideremos el espacio vectorial IR3
. Un subespacio propio
de IR3
es el subconjunto
H = {(x, y, z) : x = at, y = bt, z = ct, donde a, b, c, t ∈ IR}
(en el espacio ¿que representa este subespacio?). Sepuede ´
decir que este es el ´unico subespacio propio de IR3
(En el espacio de las matrices)
Consideremos el espacio vectorial de las matrices M(K )m×n.
Este espacio vectorial tiene una gran variedad de subespacios
propios. Por ejemplo:
1) El subconjunto formado por las matrices cuadradas n × n
es un subespacio de M(K )m×n.
2) El subconjunto H =a 0b c: a, b, c, ∈ K
es un subespacio de M(K)m×n.
o (En el espacio de la funciones continuas)
Consideremos el espacio vectorial C[a, b]. Este espacio
vectorial tiene como algunos de sus subespacios propios a los
siguientes subconjuntos:
1 El conjunto Pn, los polinomios de grado menor o igual que
n es un subespacio propio de C[a, b].
Pn = {p(x) : p(x)es un polinomio de grado ≤ n}
2 El conjunto de las funciones con primera derivada...