Espacios Vectoriales

ESPACIOS VECTORIALES

• Espacios y Subespacios Vectoriales
• Combinación Lineal, Conjunto Generador y Espacio Generado
• Dependencia e Independencia Lineal
• Bases
• Cambio de Bases


ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES

I. Ejercitación Básica:

1) Demostrar analíticamente que el conjunto H=[pic] con [pic], es un espacio vectorial.


2) Comprobaranalíticamente que los siguientes subconjuntos de R2 no son espacios vectoriales:
a) Los vectores localizados en el primer cuadrante.
b) H=[pic]


3) Demostrar que el conjunto H es un subespacio de V:
a) [pic] H= el plano xy.
b) [pic]
c) [pic]


4) En cada caso, describir geométricamente el conjunto dado y determinar si es o no un subespacio vectorial justificandoadecuadamente:
a) El conjunto de los vectores en (3 de la forma (x; x; x) con x(R.
b) Los puntos (x; y; z) ( (3 tales que x = t+1; y = 2t; z = t-1 (t(R.
c) El conjunto H formado por los vectores del plano (x o y); ubicados en el primer, segundo y tercer cuadrante.
d) El conjunto constituido por los vectores de la forma (0; y; z)
e) El lugar geométrico determinado por la unión de dossubespacios cualesquiera.


5) Determinar en cada caso, si el conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales dado, es un subespacio de R3. En caso afirmativo verificar el cumplimiento de los axiomas correspondientes:
a) S1:[pic] b) S2: [pic] c) S3:[pic]


6) Hallar, al menos dos subespacios de R3 perpendiculares al subespacio x = y = z.



II.Ejercitación Complementaria:

1) Comprobar que los siguientes subconjuntos de (2 no son espacios vectoriales:
a) H= {(x; y) : x2 + y2 ( 1}
b) H= {(1; y) : y ( R}


2) Demostrar que el conjunto H es un subespacio de V:
a) Si V= (m ; H={X ( (m / A.X=0}. Interpretar H.
b) Si [pic] son SEV de V [pic] [pic].
c) Si [pic]
d) Si V= (3 ; H={(x; y; z) ((3 / x+y-z= 0}.
e) Si V= (4 ; H={(x; y; z; w) ( (4 / x+y-z= 0}.


3) En cada caso, describir geométricamente el conjunto dado y determinar si es o no un subespacio vectorial justificando adecuadamente:
a) El conjunto de puntos en (3 que satisface la ecuación x + z = 1.
b) El conjunto de puntos en (3 que satisface la ecuación x + z = 0.
c) Los puntos de (3que satisfacen las ecuaciones x + z = 0; x – z = 0.
d) Conjunto H formado por los puntos de (3 que pertenecen a la intersección de los planos coordenados (xoy) y (xoz).
e) H = {(x; y; z) € (³ / x²+y²-z = 0}
f) H = {(x; y; z) € (³ / x = z, 2x+y = 0 }
g) el conjunto formado por los vectores (0; 0; 0) ; (1; 0; 0).


4) Determine en cada caso, si el conjuntosolución del sistema de ecuaciones lineales dado, es un subespacio de V En caso afirmativo verifique el cumplimiento de los axiomas correspondientes:
V= R3 a) S1:[pic] V= R4 b) S2:[pic]
V= R3 c) S3:[pic] V= R2 d) S4:[pic]




COMBINACIÓN LINEAL, CONJUNTO GENERADOR Y ESPACIO GENERADO

I. Ejercitación Básica:

1) Determinar si los vectores[pic] generan el espacio vectorial (³. Si la respuesta es negativa, describir geométricamente el espacio que generan y expresarlo algebraicamente utilizando tres conjuntos generadores diferentes.


2) Determinar en cada caso, al menos dos espacios vectoriales generados por los vectores dados:
a) [pic]; b) [pic];

c) (1; 1; 1); d) (1; -1; 1) y (-1; 1; -1);

e) [pic]; f) [pic]3) ¿Verdadero o falso? Justificar.
a) Los vectores [pic] generan el plano () x + y – z = 0.
b) El vector (6; 2) pertenece al espacio generado por {(2; 3); (4; -5)}
c) Un conjunto de tres vectores de (2siempre genera a (2
d) El espacio generado por un vector no nulo de (³ es un plano perpendicular a ese vector y que pasa por el origen.
e) El espacio que generan tres o más...